matematikk.net

Hei!

Sliter med en likning, hjelp!
Har holdt på i 4-5 timer med integrasjon og diff.likninger nå så d er mulig jeg er sliten og har blitt tallblind men jeg får ikke denne til å gå opp!
Oppgaven er

Vis at

Y= e^x+ 1/2(sin x + cos x)

Er en løsning av diff.likningen

y'+y=cos x

Jeg får løsningen y= sin x + cos x + C hver gang

En lettere måte er kanskje å derivere y-funksjonen du har fått, og sette det inn i likninga, og se at venstre side = høyre side.

Jo jeg er klar over det, og sånn sett så får jeg den jo til, men det kom kanskje ikke tydelig nok fram slik jeg formulerte meg. Jeg må vite hvordan jeg løser
y'+y= cos x

Det er det jeg ikke får til...

Er du kjent med integrerende faktor-metoden?

Usikker på hva du mener.

Men kan ikke du bare vise meg hvordan jeg gjør utregningen da.

Har regnet på ca 50 diff.likninger nå, men y'+y=cos x er den eneste jeg ikke får til.

Vennligst vis utregningen av denne.

ICE net bruker 15 min på å laste denne siden så kan ikke lage en samtale utav dette, blir sittende i hele kveld da.

Er ikke så stor fan av å bare gi løsninger på sølvfat, men her er "gisten" av løsninga.

[tex]y^, + y = \cos(x)[/tex]

[tex]e^xy^, + e^xy = e^x\cos(x)[/tex]

Bruker produktregelen baklengs på venstre side av likninga, med tanke på at [tex](e^x)^, = e^x[/tex]

[tex](e^xy) = e^x\cos(x)[/tex]

Integrerer begge sider mhp. x:

[tex]\int(e^xy)^,dx = \int e^x\cos(x)dx[/tex]

[tex]e^xy = \frac12 e^x(\sin(x)+\cos(x) + C[/tex]

Herfra er det bare å løse for y, og forenkle til du er fornøyd.

Takker for svaret!
Selv om jeg hadde kommet fram til lignende selv,jeg bare forsto ikke hvor 1/2 foran e^x kom fra... D gikk opp for meg at d var pga e^x sin x + e^x cos x selvfølgelig gjør 1/2(...)
Som jeg sa, var blitt tallblind,på tide å ta kveld:)