R2 trigonometri

[pythagoras]

Hei,

jeg lurer på noe fra Aschehougs fasiter til to oppgaver fra R2 eksamen våren 2009 og R2 eksempeloppgave 2008.

Oppgave 4d (alternativ 2) R2-eksamen våren 2009

[tex]f(x)=20e^{-0,2x} \sin (2x+0,644)[/tex] (konstantene kommer fra tidligere oppgave)
[tex]y=f(x)[/tex]
[tex]y''+ay'+by=0[/tex]

FInn a og b.

Etter å ha regnet ut første- og andrederiverte av f(x) og satt dette inn i likningen kommer fasiten frem til dette:

[tex](-0,8+2a) \cos (2x+0,644) + (-3,96-0,2a+b) \sin (2x + 0,644)=0[/tex]

Så kommer det som jeg stusser på. Neste linje i fasiten sier:

[tex]-0,8+2a=0[/tex]

Hvordan kom de frem til dette fra den forrige linjen?

Oppgave 2c R2 eksempeloppgave 2008

Det kan vises at [tex]\int 3\sin^3(x) dx=a\cos^3x + b\cos x + c[/tex] der a,b og c er konstanter.
Vis at a=1 og b=-3

Etter derivering av høyresiden kommer fasiten her frem til at:

[tex]-(3a+b)\sin x+3a\sin^3x=3sin^3x[/tex]

"Da må 3a=3 og -(3a+b)=0"

Hvordan kommer de frem til den siste linjen?

I begge oppgavene passer løsningene for a og b, men jeg skjønner ikke de siste operasjonene. Hvordan vet man feks at det ikke finnes andre mulige a og b?

[Vektormannen]

Tingen er at de ligningene du viser til her skal gjelde for alle x. I den første oppgaven skal [tex]y^{\prime\prime}(x) + ay^\prime(x) + by[/tex] bli lik 0, uansett hva du setter inn for [tex]x[/tex]. I ligningen som fasiten kom frem til så har vi to ledd; et med et sinusuttrykk ganger en konstant og et med et cosinusuttrykk ganget med en konstant. For at det alltid skal være 0 så må vi faktisk sørge for at konstantene er lik 0. Er du med på det? Det vil da medføre at konstanten ganget med cosinusleddet, [tex]-0,8 + 2a[/tex], må være lik 0 (og det samme vil gjelde den andre konstanten, [tex]-3.96 - 0.2a + b[/tex]). Samme tankegang gjelder i den andre oppgaven.

[pythagoras]

Hmmm... ja, det er vel kanskje det at det skal gjelde for alle mulige x, som jeg glemmer her. Jeg forestiller meg at skal kunne finnes en eller flere andre kombinasjoner av a og b som også vil gi 0, for jeg føler ikke helt at resonnementet utelukker det, men det er kanskje umulig?
Kan man da si generelt at hvis [tex]a\sin x + b \cos x =0[/tex] der a og b er konstanter, så må både a og b være 0 for at det skal gjelde alle x?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Du kan jo se hva som skjer hvis a eller b (eller begge) er forskjellig fra 0. Da får du i hvert tilfelle en ligning som gir visse [tex]x[/tex]-verdier som gjør at ligningen er oppfylt. For alle andre [tex]x[/tex]-verdier vil den da ikke være oppfylt.