matematikk.net

Hei,

jeg lurer på noe fra Aschehougs fasiter til to oppgaver fra R2 eksamen våren 2009 og R2 eksempeloppgave 2008.

Oppgave 4d (alternativ 2) R2-eksamen våren 2009

[tex]f(x)=20e^{-0,2x} \sin (2x+0,644)[/tex] (konstantene kommer fra tidligere oppgave)
[tex]y=f(x)[/tex]
[tex]y''+ay'+by=0[/tex]

FInn a og b.

Etter å ha regnet ut første- og andrederiverte av f(x) og satt dette inn i likningen kommer fasiten frem til dette:

[tex](-0,8+2a) \cos (2x+0,644) + (-3,96-0,2a+b) \sin (2x + 0,644)=0[/tex]

Så kommer det som jeg stusser på. Neste linje i fasiten sier:

[tex]-0,8+2a=0[/tex]

Hvordan kom de frem til dette fra den forrige linjen?

Oppgave 2c R2 eksempeloppgave 2008

Det kan vises at [tex]\int 3\sin^3(x) dx=a\cos^3x + b\cos x + c[/tex] der a,b og c er konstanter.
Vis at a=1 og b=-3

Etter derivering av høyresiden kommer fasiten her frem til at:

[tex]-(3a+b)\sin x+3a\sin^3x=3sin^3x[/tex]

"Da må 3a=3 og -(3a+b)=0"

Hvordan kommer de frem til den siste linjen?

I begge oppgavene passer løsningene for a og b, men jeg skjønner ikke de siste operasjonene. Hvordan vet man feks at det ikke finnes andre mulige a og b?

Tingen er at de ligningene du viser til her skal gjelde for alle x. I den første oppgaven skal [tex]y^{\prime\prime}(x) + ay^\prime(x) + by[/tex] bli lik 0, uansett hva du setter inn for [tex]x[/tex]. I ligningen som fasiten kom frem til så har vi to ledd; et med et sinusuttrykk ganger en konstant og et med et cosinusuttrykk ganget med en konstant. For at det alltid skal være 0 så må vi faktisk sørge for at konstantene er lik 0. Er du med på det? Det vil da medføre at konstanten ganget med cosinusleddet, [tex]-0,8 + 2a[/tex], må være lik 0 (og det samme vil gjelde den andre konstanten, [tex]-3.96 - 0.2a + b[/tex]). Samme tankegang gjelder i den andre oppgaven.

Hmmm... ja, det er vel kanskje det at det skal gjelde for alle mulige x, som jeg glemmer her. Jeg forestiller meg at skal kunne finnes en eller flere andre kombinasjoner av a og b som også vil gi 0, for jeg føler ikke helt at resonnementet utelukker det, men det er kanskje umulig?
Kan man da si generelt at hvis [tex]a\sin x + b \cos x =0[/tex] der a og b er konstanter, så må både a og b være 0 for at det skal gjelde alle x?

Ja, det stemmer. Du kan jo se hva som skjer hvis a eller b (eller begge) er forskjellig fra 0. Da får du i hvert tilfelle en ligning som gir visse [tex]x[/tex]-verdier som gjør at ligningen er oppfylt. For alle andre [tex]x[/tex]-verdier vil den da ikke være oppfylt.