Integrasjon ved variabelskifte

[Moebius]

Hei.

Jeg sItter og kikker i boka Sigma R2, delkapittel 4.8 integrasjon ved substitusjon.

Der står følgende:

${\int }_{}2x³cos(x⁴+1)dx$
$u=x⁴+1$

$\frac{du}{dx}=4x³$
$dx=\frac{du}{4x³}$

${\int }_{}2x³cos(x⁴+1)\frac{du}{4x³}$
$\frac{1}{2}{\int }_{}cos(x⁴+1)du$
$\frac{1}{2}sin(u)+C$

Definisjonen for den deriverte gir oss:

$\frac{df}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Hvorav:
$df=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=\mathrm{\Delta }f(x)$ ..eller, ja, dere skjønner.

Men hvordan kan man bruke $\mathrm{\Delta }f(x)$ til å integrere (f.eks. $\int fdf$), da $df$ (altså $\mathrm{\Delta }f(x)$) kan være en variabel, mens $\mathrm{\Delta }x$ er en konstant???

Jeg forstår ikke hvordan det, ut i fra definisjonen, blir samme type operasjon.

[Moebius]

Er det virkelig ingen som kan svare på dette?