Fluks ut av kule

[Innumerate]

Jeg har et spørsmål til følgende oppgave:

Use the Divergence Theorem [$\varphi =\oint {\oint }_S\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}dS={\iiint }_B▽\cdot \overrightarrow{F}dV$] to calculate the flux of the given vector field out of the sphere S with equation $x^2+y^2+z^2=a^2$, where $a>0$.

$F=(x^2+y^2)\mathbf{i}+(y^2-z^2)\mathbf{j}+z\mathbf{k}$

Så langt henger jeg med fasiten:
$\varphi ={\iiint }_B[\frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2)+\frac{\partial }{\partial y}(y^2-z^2)+\frac{\partial }{\partial z}z]dV={\iiint }_B(2x+2y+1)dV$

Men i følge fasiten er:
${\iiint }_B(2x+2y+1)dV={\iiint }_{B}1dV$

Mitt spørsmål er: Hvordan kommer man fra $2x+2y+1$ til 1?

[Gustav]

$\iiint xdV=0$. Årsaken er at integranden blir antisymmetrisk i x etter at vi har integrert over y og z. Likeledes for $\iiint ydV=0$. Det er altså symmetrien til integrasjonsområdet som gjør dette. Jeg ville utført dette i detalj hadde jeg vært deg.