1T Max/Min verdi

[ThomasSkas]

Hei, det gjelder oppgave. 7 c)

Bestem det største arealet rektangelet kan ha.
Bestem lengden og bredden til rektangelet.

Jeg klarer å løse denne oppgaven ved å slå inn max/min kommandoen i et program og deretter finne resten og plotte inn og finne max, bredde og lengde.
Men jeg vet også at det skal være mange flere metoder, og jeg liker å vise regning generelt.

Jeg vet at man kan bruke Derivasjon til å finne ekstremalpunkt (Topp- og bunnpunkt) og deretter finne koordinater osv.
Men hvordan gjør jeg det i denne oppgaven? Funksjonen i oppgaven er som følger:

[tex]A(x)=4x\cdot \sqrt{100-x^2}[/tex]

Jeg regner med at dette er en andregrads funksjon, men hvordan deriverer jeg denne, for så å finne max og deretter bredde og lengde?
Jeg har btw, tatt en titt på løsningsforslaget på siden her, men jeg skjønner den dessverre ikke

Tusen takk folkens!

God sommer 8)

[Janhaa]

det er bare å derivere rett fram:

[tex]\large A^,(x)=4*\sqrt{100-x^2}+4x*\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=0[/tex]

så kan du løse mhp x, og sette inn i A(x) igen

[ThomasSkas]

hm,
hvilken derivasjonsregel gjelder i her, spesielt for rotuttrykket?
Tror ikke jeg har lært derivasjon av slike da jeg gjorde meg ferdig i 1T før sommeren?
Mulig jeg glemmer noe

[Nebuchadnezzar]

Noe enklere er følgende tankrekke. Vi ser først at $x>0$ og at $x \leq 10$ (hvorfor?).
Videre ved å putte inn noen verdier ser vi at $A(a)>0$ der $a$ er mellom 0 og 10, slik at A har et
maksimum mellom 0 og 10.

Herfra kan vi skrive om funksjonen din litt

Alternativ I

$ \displaystyle \hspace{1cm}
A(x) = 4x \cdot \sqrt{100 - x^2}
= 4 \sqrt{ x^2 } \cdot \sqrt{100 - x^2}
= 4 \sqrt{ x^2 \left( 100 - x^2 \right) }
$

Tanken er nå at hvordan funksjonen din oppfører seg er bare avhengig av det som er under kvadratroten.
Slik at for å finne toppunktet trenger du bare finne ut når den deriverte av

$g(x) = x^2 \left( 100 - x^2 \right)$

er null. Her er det heldigvis relativt lett å beregne $g'(x)$.

Alternativ II

Alternativt kan vi fortsette å skrive om slik at

$
A(x) = 4 \sqrt{ 50^2-(x^2-50)^2 }
$

Ved å fullføre kvadratet (dette har du helt sikkert lært?). Herfra kan en uten derivasjon! raskt se hva maksimum
må være. Hva skjer om $x^2>50$ eller $x^2<50$ ?

Alternativ III

La oss se nærmere på

$g(x) = x^2 \left( 100 - x^2 \right)$

Tanken er nå at $x^2$ stiger når vi øker $x$ ikke sant? Og $100 - x^2$ minker når vi øker $x^2$.
Så om vi bare hadde hatt $x^2$ vil vi ønske å ha $x$ så stor som mulig, mens siste leddet gjør at vi ønsker at
$x$ skal være så liten som mulig. Et stort dilemma! Tenk deg to personer som drar i et tau, prinsippet er det samme.
Løsningen blir da selvsagt at de møtes på midten.

Slik at vi med en gang kan si at $g(x)$ er maksimal for

$
x^2 = \frac{0 + 100}{2} = 50
$

som er enda lettere å løse. Om en ikke bare bruker formler, og tillater seg selv frie tanker..