matematikk.net

Hei, det gjelder oppgave. 7 c)

Bestem det største arealet rektangelet kan ha.
Bestem lengden og bredden til rektangelet.

Jeg klarer å løse denne oppgaven ved å slå inn max/min kommandoen i et program og deretter finne resten og plotte inn og finne max, bredde og lengde.
Men jeg vet også at det skal være mange flere metoder, og jeg liker å vise regning generelt.

Jeg vet at man kan bruke Derivasjon til å finne ekstremalpunkt (Topp- og bunnpunkt) og deretter finne koordinater osv.
Men hvordan gjør jeg det i denne oppgaven? Funksjonen i oppgaven er som følger:

[tex]A(x)=4x\cdot \sqrt{100-x^2}[/tex]

Jeg regner med at dette er en andregrads funksjon, men hvordan deriverer jeg denne, for så å finne max og deretter bredde og lengde?
Jeg har btw, tatt en titt på løsningsforslaget på siden her, men jeg skjønner den dessverre ikke

Tusen takk folkens!

God sommer 8)

det er bare å derivere rett fram:

[tex]\large A^,(x)=4*\sqrt{100-x^2}+4x*\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=0[/tex]

så kan du løse mhp x, og sette inn i A(x) igen

hm,
hvilken derivasjonsregel gjelder i her, spesielt for rotuttrykket?
Tror ikke jeg har lært derivasjon av slike da jeg gjorde meg ferdig i 1T før sommeren?
Mulig jeg glemmer noe

Noe enklere er følgende tankrekke. Vi ser først at $x>0$ og at $x \leq 10$ (hvorfor?).
Videre ved å putte inn noen verdier ser vi at $A(a)>0$ der $a$ er mellom 0 og 10, slik at A har et
maksimum mellom 0 og 10.

Herfra kan vi skrive om funksjonen din litt

Alternativ I

$ \displaystyle \hspace{1cm}
A(x) = 4x \cdot \sqrt{100 - x^2}
= 4 \sqrt{ x^2 } \cdot \sqrt{100 - x^2}
= 4 \sqrt{ x^2 \left( 100 - x^2 \right) }
$

Tanken er nå at hvordan funksjonen din oppfører seg er bare avhengig av det som er under kvadratroten.
Slik at for å finne toppunktet trenger du bare finne ut når den deriverte av

$g(x) = x^2 \left( 100 - x^2 \right)$

er null. Her er det heldigvis relativt lett å beregne $g'(x)$.

Alternativ II

Alternativt kan vi fortsette å skrive om slik at

$
A(x) = 4 \sqrt{ 50^2-(x^2-50)^2 }
$

Ved å fullføre kvadratet (dette har du helt sikkert lært?). Herfra kan en uten derivasjon! raskt se hva maksimum
må være. Hva skjer om $x^2>50$ eller $x^2<50$ ?

Alternativ III

La oss se nærmere på

$g(x) = x^2 \left( 100 - x^2 \right)$

Tanken er nå at $x^2$ stiger når vi øker $x$ ikke sant? Og $100 - x^2$ minker når vi øker $x^2$.
Så om vi bare hadde hatt $x^2$ vil vi ønske å ha $x$ så stor som mulig, mens siste leddet gjør at vi ønsker at
$x$ skal være så liten som mulig. Et stort dilemma! Tenk deg to personer som drar i et tau, prinsippet er det samme.
Løsningen blir da selvsagt at de møtes på midten.

Slik at vi med en gang kan si at $g(x)$ er maksimal for

$
x^2 = \frac{0 + 100}{2} = 50
$

som er enda lettere å løse. Om en ikke bare bruker formler, og tillater seg selv frie tanker..