Algebra + Punkter + Sirkler om origo og finne a

[FAB]

Hei!
Sliter med to oppgaver som er innenfor algebra, de lyder:


1)

Likningen [tex]x^2+y^2=1[/tex] er en sirkel om orgio med radius 1.
Likningen: [tex](x-1)^2+(y-1)^2=1[/tex] er en sirkel om punktet (1,1) med radius 1. Finn skjæringspunktet mellom de to sirklene

Jeg med fast med den likningen slik: [tex]x^2-2x+y^2-2y+1=0[/tex], men ja vet ikke lengre enn det. Ellers kan jeg tro x eller y kan være 1 på en av dem fra å se på likningen. Her så lurer jeg mest hvordan du regner deg frem til x og y, ikke grafisk.

2)
Vi har sirkelen [tex]x^2+y^2=4[/tex] og hyperbelkurven [tex]y=\frac{a}{x}[/tex]
a) Tegn kurvene i et koordinatsystem når a=1, og regn ut skjæringpunktene
b) Finn hva a må være for at hyperbelkurven skal tangere sirkelen.

Veldig usikker her, men kunne sett for meg 4 løsninger, men jeg forstår bedre ved å se hvordan du ville regne deg til dette

Mvh
FAB

[FAB]

Oppg. 2
A)

[tex]x^2+y^2=4[/tex]
[tex]y=\frac{a}{x}[/tex]
Sette inne uttrykket for y inn i denne likningen med to x ukjente opphøyd i annen.
Regne det og får: x^4-4x^2+1=0
Blir en dobbelt +/-, så 4 svar for x og y
x= 1,93
x=0,52
x=-0,52
x=-1,93

og

y=0,52
y=1,932
y=-1,932
y=-0,52

Fant svarene ved hjelp av abc formelen: ble: [tex]x = \pm \sqrt{2 \pm \sqrt{3}}[/tex]
Og vi hadde [tex]y = \frac{a}{x}[/tex] så jeg skrev verdiene til y som: [tex]y = \frac{1}{\pm \sqrt{2 \pm \sqrt{3}}}[/tex]
Var det feil? Hvordan ville du gjort det? Eureka?

Mvh
FAB

Ennå usikker på de andre da

[Janhaa]

for 1) kall første lkning for I og andre for II. Ta I minus II, altså :
[tex]2x+2y=2[/tex]
dvs
[tex]x+y=1[/tex]
som oppfylles for:
x=1 og y=0
samt
x=0 og y=1

[Janhaa]

Oppgave 2b)
si at sirkel (I) og hyperbel (II) skjærer hverandre i (p, q).
fra hyp ser vi at q = a/p => a=p*q. videre
for hyperbel innsatt i sirkel, samt substituert inn (p,q):

[tex]\large p^2+(\frac{p^2q^2}{p^2})=4[/tex]
altså
[tex]\large p^2+q^2=4[/tex]
og
[tex]a=qp[/tex]
===
stigningstall til hyperbel:
[tex]\large y(t_1)=-a/x^2=-q/p[/tex]
tilsvarende stigningstall til sirkel:
[tex]\large y(t_2)=\frac{-p}{\sqrt{4-p^2}}[/tex]
setter så y(t1) = y(t2) og får:
[tex]\large p^4=(4-p^2)^2[/tex]
[tex]\large p=q=\pm \sqrt 2[/tex]
der
[tex]\large a=q\cdot p=2[/tex]

[FAB]

Hei!

Hvordan fikk du stigningtallet til hyperbel og sirkelen? Kan du vise mer av den regningen?

[Aleks855]

Stigningstallet får du ved å derivere.

$\displaystyle f(x) = \frac ax$ gir $\displaystyle f'(x) = -\frac a{x^2}$

$\displaystyle g(x) = \sqrt{1-x^2}$ gir $\displaystyle g'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

[FAB]

[tex]y=\frac{a}{x}[/tex]
[tex]y´(x)=\frac{a^{-1}}{x^{2}}[/tex]

[tex]y´(x)= \frac{-a}{x^{2}}[/tex]

Den andre:
[tex]y(x)=\sqrt{4-x^{2}}[/tex]
[tex]{y}'(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}[/tex]

Feil?Riktig?

Mvh
FAB

Rettet litt her xD Får error mange ganger, beklager tiden for meg å rette

[Aleks855]

[tex]y=\frac{a}{x}[/tex]
[tex]y´(x)=\frac{a^{-1}}{x^{2}}[/tex]

[tex]y´(x)= \frac{-a}{x^{2}}[/tex]

Den andre:
[tex]y(x)=\sqrt{4-x^{2}}[/tex]
[tex]{y}'(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}[/tex]

Feil?Riktig?

Mvh
FAB

Rettet litt her xD Får error mange ganger, beklager tiden for meg å rette

Andre linje er feil.
$\displaystyle y´(x)=\frac{a^{-1}}{x^{2}}$ Vet ikke hvor du får $\displaystyle a^{-1}$ fra men du mente sikkert $\displaystyle -a$

Ellers er det greit.