Ikke primtall for alle n

jhoe06 · 11/08-2013 03:19

Vis at det finnes uendelig mange positive heltall

a

slik at tallet

n^{4} + a

ikke er et primtall for noe positivt heltall

n

.

Hoksalon · 11/08-2013 18:28

Setter vi a = 4b^4 så kan vi faktorisere det ved hjelp av Sophie Germain sin identitet.

n^{4} + 4 b^{4} = (n^{2} + 2 b)^{2} - (2 b n)^{2} = (n^{2} - 2 b n + 2 b) (n^{2} + 2 b + 2 b n)

11/08-2013 19:32

Eller

a = n

...

11/08-2013 19:33

Hoksalon wrote:Setter vi a = 4b^4 så kan vi faktorisere det ved hjelp av Sophie Germain sin identitet.
$n^{4} + 4 b^{4} = (n^{2} + 2 b)^{2} - (2 b n)^{2} = (n^{2} - 2 b n + 2 b) (n^{2} + 2 b + 2 b n)$

du mener vel:

n^{4} + 4 b^{4} = (n^{2} + 2 b^{2})^{2} - (2 b n)^{2} = (n^{2} - 2 b n + 2 b^{2}) (n^{2} + 2 b^{2} + 2 b n)

Hoksalon · 11/08-2013 20:42

Nebuchadnezzar wrote:Eller $a = n$ ...

Da finner vi bare en verdi for a for en gitt n-verdi.

Janhaa: Du har rett, jeg slurvet litt.

jhoe06 · 12/08-2013 00:20

Jeg løste den på samme måte. Strengt tatt er det vel også nødvendig å vise at ingen av faktorene er lik 1, men det er ikke så vanskelig å se at dette er tilfellet for

b > 1

.

Oppgaven er hentet fra den internasjonale matematiske olympiaden i 1969.