Limits

[mikki155]

Hey ho

Er det mulig å løse [tex]\lim_{x \to 4} x^2 - 4x +1 = 1[/tex] ved bruk av epsilon-delta definisjonen?
Så langt kom jeg (hehe):

[tex]0 < |x-4| < \delta[/tex]

[tex]|x^2-4x+1-1| < \epsilon[/tex]

[tex]|x(x-4)| < \epsilon[/tex]

[tex]|x| \cdot |x-4| < \epsilon[/tex]

[tex]|x-4| < \frac {\epsilon}{|x|}[/tex]

[tex]\delta < \frac {\epsilon}{|x|}[/tex]

En variabel delta er jo litt spenstig ^^

[Vektormannen]

Det er litt vel spenstig ja. [tex]\delta[/tex] skal ikke avhenge av hvilken verdi x har. Det vi må gjøre her er å få kontroll på produktet [tex]|x||x-4|[/tex]. Vi kan få [tex]|x-4|[/tex] tilstrekkelig liten ved å velge en liten [tex]\delta[/tex]. Men det hjelper ikke om [tex]|x|[/tex] blir for stor, slik at produktet blir større enn den gitte [tex]\epsilon[/tex]. Et vanlig triks da er å i første omgang begrense verdien av [tex]\delta[/tex] til å f.eks. si at den alltid skal være mindre enn 1. Da vet vi at [tex]|x-4| < 1[/tex]. Kan du ut fra det finne hva som må gjelde for [tex]|x|[/tex]? (Hint: husk at [tex]|x| < a \ \Leftrightarrow \ -a < x < a[/tex]) Hva kan du da si om produktet [tex]|x||x-4|[/tex]?

[mikki155]

Hvis [tex]0 < |x-4| < 1[/tex], så må [tex]3 < x < 5[/tex] (det virker logisk også, dersom man ser på x-aksen)

[tex]|x||x-4| < \epsilon[/tex], og med den minste x-verdien, blir det [tex]\delta < \frac {\epsilon}{3}[/tex]. Stemmer det?

[Vektormannen]

Nesten. Jeg tror du er inne på tankegangen, men med det valget får vi at [tex]|x||x-4| < 5 \frac{\epsilon}{3}[/tex], men det er jo ikke nødvendigvis mindre enn [tex]\epsilon[/tex]! Det vi vet nå er jo at [tex]|x| < 5[/tex], ikke sant? Det betyr at vi i alle fall har at [tex]|x||x-4| < 5 |x-4|[/tex]. Ser du et passende valg for [tex]\delta[/tex] da?

[mikki155]

Ser det at venstresiden i [tex]|x||x-4| < 5 \frac{\epsilon}{3}[/tex] kan bli større enn [tex]\epsilon[/tex], ja. Med [tex]|x||x-4| < 5|x-4|[/tex], er det vel passende å sette [tex]|x-4| < \frac {\epsilon}{5}[/tex], i og med at vi da får:

[tex]|x||x-4| < 5 \cdot \frac {\epsilon}{5} \Leftrightarrow |x||x-4| < \epsilon[/tex]

Så derfor må [tex]\delta < \frac {\epsilon}{5}[/tex]

[Vektormannen]

Jepp, nå ser det bra ut! Det siste vi må gjøre for at det skal være helt, helt korrekt er å sørge for at [tex]\delta[/tex] alltid er mindre enn 1 (hvis ikke vil jo ikke [tex]|x| < 5[/tex]!) Hvis [tex]\epsilon[/tex] er større enn 5 så blir jo [tex]\frac{\epsilon}{5} > 1[/tex], og om vi da sier at [tex]\delta < \frac{\epsilon}{5}[/tex] så kan vi ikke garantere at [tex]\delta < 1[/tex], ikke sant? Derfor må vi si at [tex]\delta[/tex] skal være det minste tallet av 1 og [tex]\frac{\epsilon}{5}[/tex]. På en kort måte kan vi si det ved å skrive [tex]\delta = \min(1, \frac{\epsilon}{5})[/tex].

[mikki155]

Aha, kul skrivemåte. Hvor har du fått alt dette fra? Finner det ingensteds i calculus 1 boka (finner faktisk ingenting om delta-epsilon i det hele tatt der). Eller kanskje bare kokte du det opp mens du satt i badekaret? ^^

[Vektormannen]

Hadde jeg hatt plass til et badekar, så . Det å begrense [tex]\delta[/tex] er et ganske vanlig triks som står i flere bøker, men kanskje ikke i boka deres. Egentlig er jeg litt overrasket av at dere har fått en sånn oppgave i øving (?) hvis det ikke står noe om det i boka; dette er jo ikke akkurat noe de fleste kommer på helt på egenhånd. Har det blitt vist i forelesning kanskje? Jeg lærte selv dette i Grunnkurs i Analyse 1 (MA1101). Det faget går noe mer i dybden på epsilon-delta enn Matte 1 gjør.

[mikki155]

Hehehe. Nei, altså epsilon-delta metoden var bare noe foreleseren anbefalte at vi skulle se på, i og med at det er fundamentet for grenseverdier. Jeg gikk glipp av den ene forelesningen pga. sykdom, og så tenkte jeg bare å gjøre noen sånne oppgaver for å forstå det litt bedre. Men ellers i lekse (øvinger har ikke begynt enda) har vi bare regnet på den "vanlige" måten. Men ser frem til å lære litt nyere ting utover det som er kjent fra vgs, som L'Hôpitals regel, Taylor-rekker m.m.

[Vektormannen]

Ok, da så! Merk at epsilon-delta er ikke en metode for å finne grenseverdier, men et begrepsapparat som brukes for å definere grenser presist. Ut fra epsilon-delta kan vi vise alle de resultatene og regnereglene som brukes når vi finner grenseverdier på 'vanlig' måte. For eksempel bruker vi epsilon-delta for å vise presist at [tex]\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)[/tex], L'Hopitals regel, og så videre. Det er litt som definisjonen av den deriverte; den bruker vi til å grunngi de forskjellige derivasjonsreglene vi har, og så bruker vi disse reglene for å finne den deriverte av forskjellige funksjoner.

[mikki155]

Ok da, som du vil ^^ Fant en liten seksjon med epsilon-delta, så driver og regner på det nå, hvert fall. Men er vel ikke vits at jeg regner aaalt for mye, for sannsynligvis kommer det ikke på eksamen. Men som sagt, greit å få det inn med teskje hehe.