Hei, sliter litt med hvordan jeg skal tenke på denne oppgava. Svaret og alt har jeg gitt av formel, men hvorfor det blir slik er det jeg håper noen kan forklare.
"36 elever skal deles opp i 4 lag med 9 spillere på hvert lag."
Ser jo av formel at dette gir 36! / 9! 9! 9! 9!, men klarer ikke heelt å få fatt i hvorfor det blir slik. Noen som gidder å forklare?
Permutasjoner og uordnede utvalg
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Til det første laget kan du velge spillere på $ \frac{36!}{9!(36-9)!} $ uordnede måter. Du har igjen 27 spillere, så til det andre laget kan du velge ut spillere på $ \frac{27!}{9!(27-9)!} $ uordnede måter. Da har du igjen 18 spillere, så til det tredje laget kan du velge ut spillere på $ \frac{18!}{9!(18-9)!} $ måter. Da er det bare 9 spillere igjen, så det siste laget er bestemt av de tre første. Ganger vi sammen mulighetene, får vi $ \frac{36!}{9!27!} \cdot \frac{27!}{9!18!} \cdot \frac{18!}{9!9!} = \frac{36!}{9!9!9!9!} $, som stemmer overens med svaret du gir.
Dette svaret er riktignok ikke helt riktig. For det er ikke tatt høyde for at hvis vi ser bort i fra rekkefølgen vi velger lagene så vil noen av oppsettene være identiske: kall lagene for $ A, B, C, D $. Først velger vi spillere til lag $ A $, deretter til $ B $, og til slutt til $ C $ (som også bestemmer lag $ D $). La oss kalle lagene tilsvarende en bestemt fordeling av spillere for $ A_0, B_0, C_0, D_0 $. Da påstår jeg at vi kan finne en annen fordeling av spillere med lag $ A_1, B_1, C_1, D_1 $ slik at $ A_0 = B_1, B_0 = C_1, C_0 = D_1, D_0 = A_1 $ (eller tilsvarende $ A_0 = C_1 \dots $ osv. ). Men da er jo flere av fordlingene vi har telt i praksis identiske.
La oss derfor se nærmere på et oversiktlig spesialtilfelle med 2 lag og tilsammen 4 spillere. Vi kaller lagene for $ C, D $. For ett bestemt oppsett av lag $ C $ har vi kun ett oppsett av lag $ D $. Men om vi i stedenfor hadde plassert i $ C $ de spillerene som i dette tilfellet havnet i lag $ D $, hadde vi hatt en identisk fordeling om vi ser bort i fra navnet på lagene. Vi kan velge spillere til lag $ C $ på $ \frac{4!}{2!(4-2)!} $ uordnede måter, hvor hver enkelt av disse mulighetene bestemmer lag $ D $. Hvert lag $ D $ er identisk med et annet oppsett av lag $ C $ som er identisk til dette oppsettet av $ D $. Derfor kan vi fordele spillerene på to lag på $ \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{2} = 3 $ måter. Siden dette var et oversiktlig spesialttilfelle er det enkelt å telle dette manuelt og se at det faktisk stemmer, men det er også enkelt å generalisere til mer uoversiktlige tilfeller: vi kan fordele 18 spillere på 2 lag på $ \frac{18!}{9!9!\cdot 2} $ ulike måter.
Hvis vi er i stand til å håndtere tilfellet med tre lag vil det ikke bli så mye vanskeligere å generalisere til fire lag. Som forrige gang la oss se på et enkelt tilfelle, med 6 spillere og 2 spillere per lag. Kall lagene for $ B, C, D $. Vi kan velge spillere til lag $ B $ på $\frac{6!}{2!(6-2)!} $ ulike måter. For hvert enkelt av disse tilfellene kan vi velge lag $ C $ og $ D $ på $ 3 $ ulike måter. For hver enkelt av disse fordelingene av spillere til $ C $ og $ D $ kunne vi ha byttet om $ B $ og $ C $ eller $ B $ og $ D $ og fått den samme fordelingen. Derfor er $\frac{6!}{2!(6-2)!} \cdot 3 $ tre ganger alle tilfellene, så vi kan fordele spillerne på totalt $ \frac{6!}{2!(6-4)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{3!} $. Generaliserer vi til 27 spillere får vi $ \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{1}{3!} $.
Et tydelig mønster begynner å forme seg: en lignende analyse for tilfellet med 4 lag og 36 spillere gir $\displaystyle \frac{ \frac{36!}{9!(36-9)!} \cdot \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{9!}{9!(9-9)!}}{4!} $ ulike fordelinger (som forøvrig er identisk med plutarco sitt svar, men i annen notasjon). For en erfaren vil analysen av problemstillingen i de to forrige avsnittene være overfladisk, siden det er flere mulige måter å komme frem til svaret på en mer direkte måte. En måte kan for eksempel være følgende: gitt en fordeling av spillere på fire lag, kan vi navngi de ulike lagene på $ 4! $ ulike måter. Ergo er tallet i slutten av første avsnitt $ 4! $ ganger større enn det reelle antall ulike fordelinger. Det er fullt mulig å "se" hva løsningen må være, men en slik intuisjon er noe som kommer med erfaring.
Dette svaret er riktignok ikke helt riktig. For det er ikke tatt høyde for at hvis vi ser bort i fra rekkefølgen vi velger lagene så vil noen av oppsettene være identiske: kall lagene for $ A, B, C, D $. Først velger vi spillere til lag $ A $, deretter til $ B $, og til slutt til $ C $ (som også bestemmer lag $ D $). La oss kalle lagene tilsvarende en bestemt fordeling av spillere for $ A_0, B_0, C_0, D_0 $. Da påstår jeg at vi kan finne en annen fordeling av spillere med lag $ A_1, B_1, C_1, D_1 $ slik at $ A_0 = B_1, B_0 = C_1, C_0 = D_1, D_0 = A_1 $ (eller tilsvarende $ A_0 = C_1 \dots $ osv. ). Men da er jo flere av fordlingene vi har telt i praksis identiske.
La oss derfor se nærmere på et oversiktlig spesialtilfelle med 2 lag og tilsammen 4 spillere. Vi kaller lagene for $ C, D $. For ett bestemt oppsett av lag $ C $ har vi kun ett oppsett av lag $ D $. Men om vi i stedenfor hadde plassert i $ C $ de spillerene som i dette tilfellet havnet i lag $ D $, hadde vi hatt en identisk fordeling om vi ser bort i fra navnet på lagene. Vi kan velge spillere til lag $ C $ på $ \frac{4!}{2!(4-2)!} $ uordnede måter, hvor hver enkelt av disse mulighetene bestemmer lag $ D $. Hvert lag $ D $ er identisk med et annet oppsett av lag $ C $ som er identisk til dette oppsettet av $ D $. Derfor kan vi fordele spillerene på to lag på $ \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{2} = 3 $ måter. Siden dette var et oversiktlig spesialttilfelle er det enkelt å telle dette manuelt og se at det faktisk stemmer, men det er også enkelt å generalisere til mer uoversiktlige tilfeller: vi kan fordele 18 spillere på 2 lag på $ \frac{18!}{9!9!\cdot 2} $ ulike måter.
Hvis vi er i stand til å håndtere tilfellet med tre lag vil det ikke bli så mye vanskeligere å generalisere til fire lag. Som forrige gang la oss se på et enkelt tilfelle, med 6 spillere og 2 spillere per lag. Kall lagene for $ B, C, D $. Vi kan velge spillere til lag $ B $ på $\frac{6!}{2!(6-2)!} $ ulike måter. For hvert enkelt av disse tilfellene kan vi velge lag $ C $ og $ D $ på $ 3 $ ulike måter. For hver enkelt av disse fordelingene av spillere til $ C $ og $ D $ kunne vi ha byttet om $ B $ og $ C $ eller $ B $ og $ D $ og fått den samme fordelingen. Derfor er $\frac{6!}{2!(6-2)!} \cdot 3 $ tre ganger alle tilfellene, så vi kan fordele spillerne på totalt $ \frac{6!}{2!(6-4)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{3!} $. Generaliserer vi til 27 spillere får vi $ \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{1}{3!} $.
Et tydelig mønster begynner å forme seg: en lignende analyse for tilfellet med 4 lag og 36 spillere gir $\displaystyle \frac{ \frac{36!}{9!(36-9)!} \cdot \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{9!}{9!(9-9)!}}{4!} $ ulike fordelinger (som forøvrig er identisk med plutarco sitt svar, men i annen notasjon). For en erfaren vil analysen av problemstillingen i de to forrige avsnittene være overfladisk, siden det er flere mulige måter å komme frem til svaret på en mer direkte måte. En måte kan for eksempel være følgende: gitt en fordeling av spillere på fire lag, kan vi navngi de ulike lagene på $ 4! $ ulike måter. Ergo er tallet i slutten av første avsnitt $ 4! $ ganger større enn det reelle antall ulike fordelinger. Det er fullt mulig å "se" hva løsningen må være, men en slik intuisjon er noe som kommer med erfaring.
jhoe06 wrote:Til det første laget kan du velge spillere på $ \frac{36!}{9!(36-9)!} $ uordnede måter. Du har igjen 27 spillere, så til det andre laget kan du velge ut spillere på $ \frac{27!}{9!(27-9)!} $ uordnede måter. Da har du igjen 18 spillere, så til det tredje laget kan du velge ut spillere på $ \frac{18!}{9!(18-9)!} $ måter. Da er det bare 9 spillere igjen, så det siste laget er bestemt av de tre første. Ganger vi sammen mulighetene, får vi $ \frac{36!}{9!27!} \cdot \frac{27!}{9!18!} \cdot \frac{18!}{9!9!} = \frac{36!}{9!9!9!9!} $, som stemmer overens med svaret du gir.
Dette svaret er riktignok ikke helt riktig. For det er ikke tatt høyde for at hvis vi ser bort i fra rekkefølgen vi velger lagene så vil noen av oppsettene være identiske: kall lagene for $ A, B, C, D $. Først velger vi spillere til lag $ A $, deretter til $ B $, og til slutt til $ C $ (som også bestemmer lag $ D $). La oss kalle lagene tilsvarende en bestemt fordeling av spillere for $ A_0, B_0, C_0, D_0 $. Da påstår jeg at vi kan finne en annen fordeling av spillere med lag $ A_1, B_1, C_1, D_1 $ slik at $ A_0 = B_1, B_0 = C_1, C_0 = D_1, D_0 = A_1 $ (eller tilsvarende $ A_0 = C_1 \dots $ osv. ). Men da er jo flere av fordlingene vi har telt i praksis identiske.
La oss derfor se nærmere på et oversiktlig spesialtilfelle med 2 lag og tilsammen 4 spillere. Vi kaller lagene for $ C, D $. For ett bestemt oppsett av lag $ C $ har vi kun ett oppsett av lag $ D $. Men om vi i stedenfor hadde plassert i $ C $ de spillerene som i dette tilfellet havnet i lag $ D $, hadde vi hatt en identisk fordeling om vi ser bort i fra navnet på lagene. Vi kan velge spillere til lag $ C $ på $ \frac{4!}{2!(4-2)!} $ uordnede måter, hvor hver enkelt av disse mulighetene bestemmer lag $ D $. Hvert lag $ D $ er identisk med et annet oppsett av lag $ C $ som er identisk til dette oppsettet av $ D $. Derfor kan vi fordele spillerene på to lag på $ \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{2} = 3 $ måter. Siden dette var et oversiktlig spesialttilfelle er det enkelt å telle dette manuelt og se at det faktisk stemmer, men det er også enkelt å generalisere til mer uoversiktlige tilfeller: vi kan fordele 18 spillere på 2 lag på $ \frac{18!}{9!9!\cdot 2} $ ulike måter.
Hvis vi er i stand til å håndtere tilfellet med tre lag vil det ikke bli så mye vanskeligere å generalisere til fire lag. Som forrige gang la oss se på et enkelt tilfelle, med 6 spillere og 2 spillere per lag. Kall lagene for $ B, C, D $. Vi kan velge spillere til lag $ B $ på $\frac{6!}{2!(6-2)!} $ ulike måter. For hvert enkelt av disse tilfellene kan vi velge lag $ C $ og $ D $ på $ 3 $ ulike måter. For hver enkelt av disse fordelingene av spillere til $ C $ og $ D $ kunne vi ha byttet om $ B $ og $ C $ eller $ B $ og $ D $ og fått den samme fordelingen. Derfor er $\frac{6!}{2!(6-2)!} \cdot 3 $ tre ganger alle tilfellene, så vi kan fordele spillerne på totalt $ \frac{6!}{2!(6-4)!} \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{3!} $. Generaliserer vi til 27 spillere får vi $ \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{1}{3!} $.
Et tydelig mønster begynner å forme seg: en lignende analyse for tilfellet med 4 lag og 36 spillere gir $\displaystyle \frac{ \frac{36!}{9!(36-9)!} \cdot \frac{27!}{9!(27-9)!} \cdot \frac{18!}{9!(18-9)!} \cdot \frac{9!}{9!(9-9)!}}{4!} $ ulike fordelinger (som forøvrig er identisk med plutarco sitt svar, men i annen notasjon). For en erfaren vil analysen av problemstillingen i de to forrige avsnittene være overfladisk, siden det er flere mulige måter å komme frem til svaret på en mer direkte måte. En måte kan for eksempel være følgende: gitt en fordeling av spillere på fire lag, kan vi navngi de ulike lagene på $ 4! $ ulike måter. Ergo er tallet i slutten av første avsnitt $ 4! $ ganger større enn det reelle antall ulike fordelinger. Det er fullt mulig å "se" hva løsningen må være, men en slik intuisjon er noe som kommer med erfaring.
Bra svar!