Komplekse tall og løsninger

[prasa93]

Finn alle løsninger for z^5 + a^5 = 0, hvor a er et positivt reelt tall. (Find all solutions of z^5 + a^5 = 0, where a is a positive real number.)

Hvordan tenker man her? Gjør man på samme måte som å finne røtter og flytter a^5 over og får z = femterot av -a^5? Videre?

[Janhaa]

Ja, men da får du bare 1 løsning. Nemlig z = -a.
Her er jo ant løsninger 5 (5. gadslikning da...)
Ikke at jeg husker dette helt, men er veien å skrive
[tex]z=\cos(x) + i\sin(x)=exp(ix)[/tex]
og deretter anvende de Moivre's formel...

[Brahmagupta]

[tex]z^5=-a^5[/tex]
Først må du skrive høyresiden på formen [tex]Re^{i(\phi+2\pi n)}[/tex]
Det er viktig å huske å legge til [tex]2\pi n[/tex] i eksponenten fordi det er det som sørger for at du får med alle 5 løsningene.

Vi har at [tex]-1=e^{i(\pi+2\pi n)}[/tex] som gir at

[tex]z^5=a^5e^{i(\pi+2\pi n)}[/tex]

[tex]\large z=(a^5e^{i(\pi+2\pi n)})^{\frac15}=ae^{i(\frac{\pi}5+\frac{2\pi n}5)}[/tex]

Ved å sette [tex]n=0,1,2,3,4[/tex] så får du alle løsningene.
Ønsker du å ha dem på formen [tex]a+bi[/tex] så kan du omskrive ved hjelp av
[tex]Re^{i\phi}=R(\cos{\phi}+i\sin{\phi})[/tex]

[prasa93]

Herlig, takker.