Matrise

[Jerry]

Jeg har en matrise A gitt ved,

Code: Select all

 1 a 1
 2 3 2
-2 6 1 

hvor jeg skal finne ut for hvilke a har matrisen ingen løsning, nøyaktig én og uendelig mange løsninger.

det(A) = 0 - gir vel ingen løsning?
I så fall, a = (3/2) gir det(A)=0

det(A) er ULIK 0 gir nøyaktig én løsning, vil det si at a > (3/2)? (siden jeg i utregningen av determinanten stod med 9 - 6a = 0)

Når har man uendelig mange løsninger?

[Solar Plexsus]

Jeg går ut fra det du spør om, er når det lineære likningssystemet AX=B har hhv. ingen, en og uendelig mange løsninger. Her er A den 3X3-matrisa du oppgir mens X=[x[sub]1[/sub] x[sub]2[/sub] x[sub]3[/sub]][sup]t [/sup] og B=[b[sub]1[/sub] b[sub]2[/sub] b[sub]3[/sub]][sup]t [/sup] er 3x1-matriser.

Når det(A)=9 - 6a<>0, dvs. når a<>3/2, har likningssystemet kun en løsning. Når det(A)=0, dvs. når a=3/2, har likningssystemet enten ingen eller uendelig mange løsninger. Dette avhenger av matrisa B som du ikke har oppgitt. For å avgjøre om dette likningssystemet har ingen eller uendelig mange løsninger likningssystemet, setter du inn a=3/2 i likningen AX=B. Deretter må du finne ut om det likningssystemet du da får, er løsbart eller ei.

[Cauchy]

Kan være man skal løse Ax=0 også, men dette bør jo spesifiseres. da vil man finne når Ker(A)={0}, eller når det er uendelig mange løsninger.
Nullvektoren er jo altid en løsning av dette problemet,den trivielle løsningen...

Men som Solar-Plexus sikkert tenkte, spørsmålet gir mest mening for systemer på formen Ax=b.

Antallet løsninger er kanskje lettest å finne ved å betrakte rangen til A ved forskjellige verdier for a...

[Jerry]

B=[0,0,6][sup]T[/sup]

"Deretter må du finne ut om det likningssystemet du da får, er løsbart eller ei."

Skal jeg sette det opp som en matrise og prøve å løse det ved Gauss-Jordan eliminasjon?

[Solar Plexsus]

Med B=[0 0 6][sup]t[/sup] blir likningssystemet AX=B ekvivalent med

(1) x[sub]1[/sub] + (3/2)x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] = 0

(2) 2x[sub]1[/sub] + 3x[sub]2[/sub] + 2x[sub]3[/sub] = 0

(3) -2x[sub]1[/sub] + 6x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] = 6

Vi ser at ganger vi likning (1) med 2, får vi likning (2). Dette likningssystemet har løsningen

x[sub]1[/sub] = 3t - 2,

x[sub]2[/sub] = 2t,

x[sub]3[/sub] = -6t + 2,

der t er et vilkårlig tall. Dermed kan vi konkludere med at når det(A)=0 (i.e. a=3/2), har likningssystemet AX=B uendelig mange løsninger.

[Jerry]

Takk, bra svar, fin oppgave også, viktig forståelse rundt matriser, bare én ting, hvordan kommer du fram til x-verdiene, setter du opp
(1) x1 + (3/2)x2 + x3 = 0
(2) 2x1 + 3x2 + 2x3 = 0
som en matrise og bruker Gauss-Jordan eliminasjon?

[ingentingg]

I dette tilfellet er det enklest å bruke Gauss-Jordan eliminasjon.
Viss man har funksjoner eller imaginære tall foran x-ene kan det være enklere å bruke Cramers regel.