Løse ligninger med rref i MATLAB - kan det gå galt?

[Flabbrø]

Anta at jeg skal løse følgende ligningssystem (størrelsen kan i praksis være en annen):
$\left[\begin{array}{ccc}{a_0}^2& {a_0}^1& {a_0}^3\\ {a_1}^2& {a_1}^1& {a_1}^3\\ {a_2}^2& {a_2}^1& {a_2}^3\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ b_2\end{array}\right]$
Og at jeg gjør dette i MATLAB ved å radredusere den utvidede matrisen
$\left[\begin{array}{cccc}{a_0}^2& {a_0}^1& {a_0}^3& b_0\\ {a_1}^2& {a_1}^1& {a_1}^3& b_1\\ {a_2}^2& {a_2}^1& {a_2}^3& b_2\end{array}\right]$
med kommandoen rref.

Hvor stor lit kan jeg feste til svaret? Risikerer jeg at det ødelegges av avrundingsfeil? Er det en annen måte jeg burde gå fram for å løse ligningene?

[Gommle]

I MATLAB burde du generelt bruke \-operatoren.

F.eks.

$Auu=bb\iff uu=A^{-1}bb$

Some i MATLAB blir

Code: Select all

u = A\b

Om det er en skikkelig svær matrise burde du ta en kikk på sparse-matriser og linsolve

[Flabbrø]

Det stemmer, ja. Takk!

Men spørsmålet står fortsatt: Hvor mye kan jeg stole på løsningen? Risikerer jeg å finne en løsning der det ikke finnes? Kan løsningen være rundet av feil?

[Gustav]

Si at du skal løse systemet Ax=b der A er en kvadratisk matrise.

Det er jo mulig å tenke seg at det(A) er svært liten slik at den avrundes feilaktig til 0. Da vil det jo få konsekvenser for løsningen.


Du kan jo teste følgende i matlab:

La $0<ϵ<<1$, og $A=\left(\begin{array}{cc}1+ϵ& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Prøv deg frem med ulike $ϵ$ og løs systemet $\left(\begin{array}{cc}1+ϵ& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.

Det skal ha en unik løsning for alle $ϵ$ ulik 0, og ingen løsning for $ϵ=0$

[Vaktmester]

Leste denne "regelen" om numeriske beregninger en gang: Hvis noe er umulig ved 0, så vil det være vanskelig nær 0. (Vanskelig = vanskelig å gjøre utregningene eller at løsningen ikke god)

[Flabbrø]

Mange takk for svarene!