orded av et element som et produkt

[Gruppeteoretiker]

Hei! Jeg er helt ny her, så håper spørsmålet mitt ikke har blitt stilt før. Beklager også på forhånd om noe av terminologien er en fornorsking av engleske uttrykk, er ikke helt stø på konseptutrykk på norsk

Jeg prøver å bevise at hvis g er et element av en gruppe G, og g har orden (order of an element) n = ab, med gcd(a,b) = 1, så finnes det elementer h og k i G, slik at g = hk, og orden av h er a, og orden av k er b.

Åpenbart er jo identiteselemntet av G og g passende (?), for alle grupper G, men jeg har også blitt spurt om det finnes flere valg for h og k enn det...

Er det noen har som er litt skarpere enn meg, som har noen ide om hvordan jeg kan løse det?

På forhånd takk

[Brahmagupta]

Hvis gcd(a,b)=1 finnes det hele tall s og t slik at [tex]sa+tb=1[/tex]. Merk at verken s og b eller a og t kan ha noen felles faktor.
Dermed har vi at
[tex]\large g=g^1=g^{sa+tb}=g^{sa}\cdot g^{tb}=h\cdot k[/tex].

Da vil [tex]\large h^b=g^{sab}=e[/tex] og [tex]\large k^a=g^{tab}=e[/tex] så h og k er av orden henholdsvis b og a. Det kan ikke finnes noe
mindre naturlige tall nettopp på grunn av bemerkningen om at s og b og a og t ikke har noen felles faktorer.

[Gruppeteoretiker]

Tusen takk skal du ha!

Man ser jo tydelig at (g^sa)^b gir identitetselementet, men er det noen enkel måte å vise at b er det minste tallet som gjør det?

[Brahmagupta]

Det følger av at gcd(s,b)=1, men her er et litt mer formelt argument.

[tex]sa+tb=1[/tex] hvis s og b har en felles faktor d så må d dele 1 så d må være 1. Altså gcd(s,b)=1

Hvis vi antar at [tex]\large g^{(sa)^q}=g^{qsa}=e[/tex] så må ordenen til g, n, dele [tex]qsa[/tex]
Det vil si at [tex]qsa=pn=pab[/tex] som gir [tex]qs\equiv 0 \mod{b}[/tex].
Siden gcd(s,b)=1 kan vi dele med s og få [tex]q\equiv 0 \mod{b} \Rightarrow q=mb[/tex].
Så det minste positive valget for q er b, og det følger at det må være ordenen.