Derivere logaritmefunksjonen

[kovu]

Hei! Hehe, nå har jeg vel kommet med en del spørsmål her i det siste...

[tex]f(x)=lnx-(lnx)^2[/tex]

Når jeg deriverer får jeg:

[tex]f'(x)=\frac{1-2lnx}{x}[/tex]

Det jeg lurer litt på er hvordan jeg andrederiverer dette funksjonsuttrykket. Jeg tenker å dele det opp slik:

[tex]f'(x)=\frac{1}{x} - \frac{2lnx}{x}[/tex]

Første ledd er jo helt greit, men jeg får litt problemer når jeg kommer til andre lett. Det er meningen å løse oppgaven kun ved hjelp av kjerneregel og selvfølgelig at den deriverte av ln x = [tex]\frac{1}{x}[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Hva med produktregel på $\frac{1}{x} \cdot (2 \log x) $ ? =)

[Eirik Fyhn]

Det kan være lurt å dele den opp på den måten, ja. Deretter kan du bruke brøkregelen for å derivere hvert av leddene.

[Eirik Fyhn]

Hva med produktregel på $\frac{1}{x} \cdot (2 \log x) $ ? =)

Blir vel isåfall [tex]\frac{1}{x}*(1-2logx)[/tex]?

[Aleks855]

Brukte funksjonen du nevnte som eksempel på bruk av brøkregelen her: http://udl.no/r1-matematikk/kapittel-8- ... sempel-951

[kovu]

Hei!

Takk for svar! Jeg går gjennom boken trinnvis og har ikke kommet til produktregel eller brøkregel enda. Det var litt derfor jeg poengterte at oppgaven skal løses kun ved hjelp av kjerneregel. Ser selvfølgelig hvordan det går an å løse den ved å bruke produktregel eller brøkregel, men jeg skjønner ikke helt hvordan den skal løses ved regning utenom disse reglene. Oppgaven kommer jo før boken går gjennom disse reglene dere nevner, så det hadde jo vært litt merkelig om en skulle bruke disse for å komme frem til svaret, eller?

[Aleks855]

Hei!

Takk for svar! Jeg går gjennom boken trinnvis og har ikke kommet til produktregel eller brøkregel enda. Det var litt derfor jeg poengterte at oppgaven skal løses kun ved hjelp av kjerneregel. Ser selvfølgelig hvordan det går an å løse den ved å bruke produktregel eller brøkregel, men jeg skjønner ikke helt hvordan den skal løses ved regning utenom disse reglene. Oppgaven kommer jo før boken går gjennom disse reglene dere nevner, så det hadde jo vært litt merkelig om en skulle bruke disse for å komme frem til svaret, eller?

Tja, du kan jo alltids kjøre $u = 1-2\ln x$. Det burde også gå helt fint. Men brøkregel er også R1-pensum, og er vel bare et par delkapitler unna.

[kovu]

Hei!

Takk for svar! Jeg går gjennom boken trinnvis og har ikke kommet til produktregel eller brøkregel enda. Det var litt derfor jeg poengterte at oppgaven skal løses kun ved hjelp av kjerneregel. Ser selvfølgelig hvordan det går an å løse den ved å bruke produktregel eller brøkregel, men jeg skjønner ikke helt hvordan den skal løses ved regning utenom disse reglene. Oppgaven kommer jo før boken går gjennom disse reglene dere nevner, så det hadde jo vært litt merkelig om en skulle bruke disse for å komme frem til svaret, eller?

Tja, du kan jo alltids kjøre $u = 1-2\ln x$. Det burde også gå helt fint. Men brøkregel er også R1-pensum, og er vel bare et par delkapitler unna.

Selvfølgelig. Jeg har ikke noen problemer med å løse oppgaver ved å bruke brøkregelen, men da denne oppgaven kom før boken i det hele tatt gjennnomgår produkt- og brøkregelen tenkte jeg det hadde vært lurt å skjønne hvordan oppgaven skulle løses uten å bruke disse reglene. Eller hva tenker dere?

Hmm.. Hvordan skal en i så fall gå frem når en setter u = 1-2lnx?

[Nebuchadnezzar]

Om du absolut vil ha kjerneregel la

$f(x) = \frac{1}{x} \log x = \log x^{1/x}$

Ved å bruke kjerneregelen på $h(x) = \log g(x)$ så fås $h'(x) = g'(x) / g(x)$. Videre så er
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^{1/x} = x^{1/x} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\log x}{x^2} \right) $.
Totalt får en
$
f'(x) = \frac{1}{x^{1/x}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^{1/x} = \frac{1}{x^2} - \frac{\log x}{x^2}
$
Derivasjonen av $x^{1/x}$ lar jeg være opp til deg som en øvelse, du trenger ikke mer enn kjerneregelen.

[kovu]

Fantastisk! Tusen takk for hjelpen! Jeg har dessverre ingen lærer som gjennomgår fagstoffet med meg, så jeg vil bare passe på at jeg forstår dette! Takk igjen!