matematikk.net

Heisann,

Jeg studerer økonomi under høyere utdanning, men poster denne her fordi pensum hittil er på nivå med 1T. Skal ha en flervalgseksamen på mandag som er et forkurs til neste semester, så det er ganske enkelt hittil.

Generelt har jeg fortsatt noen svakheter i algebra og så er det en ny type oppgave hvor man adderer og subtraherer funksjoner. Tror ikke jeg har vært utenfor sistnevnte før og læreboken er utrolig dårlig sammenlignet med hva jeg er vant med i Sinus-bøkene.

Oppgave 1

[tex]\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{8}}{\sqrt{2 }}[/tex]

Forkortet eller forenklet skal dette bli 5. Jeg har holdt på lenge, men kommer ikke noen vei.

Samme type oppgave her som jeg ikke fikk til. Skal forenkles:

[tex]\frac{\sqrt{27} - \sqrt{3}}{2}[/tex]

Jeg vet at jeg må faktorisere kvadratroten og trekke ut tall som kan kvadreres, men etter det står jeg fast.

Oppgave 2

Figuren nedenfor viser grafene til en lineær funksjon og en annengradsfunksjon. Den lineære
funksjonen er g x( ) og annengradsfunksjonen er f( )x .

Vet ikke om dere trenger figuren for å løse oppgaven, men det er en lineær funksjon med konstantledd 7 og negativt stigningstall (-1 så vidt jeg kan se). Andregradsfunksjonen har toppunkt i (1.5, 6) og nullpunkt for x = -1 og x = 4. Dette ser jeg også ved å lese av.

Funksjonen h(x) = f(x) - g(x) er en

Fasit: annengradsfunksjon

Hvordan vet jeg det?

Her vet ikke jeg uttrykket annet enn ved å lese av så vet ikke om oppgaven skal løses på den måten. Men generelt når jeg skal regne ut h(x), er det bare å sette inn uttrykket for f(x) og g(x) og subtrahere?

Oppgave 3

De totale kostnadene ved å produsere x enheter av en vare er gitt ved C(x) = 4x + 10.
Prisen per enhet av varen er p = - x + 12

Overskuddet ved å produsere og selge x enheter er:

O(x) = -x^2 + 8x -10

Hvordan?

På forhånd hjertelig takk!

Mvh

Johan Nes

[tex]\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{8} }{\sqrt{2}}[/tex]

Klarer du å omskrive [tex]\sqrt{8}[/tex] på noen måte?

mikki155 wrote:[tex]\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{8} }{\sqrt{2}}[/tex]

Klarer du å omskrive [tex]\sqrt{8}[/tex] på noen måte?

[tex]2\sqrt{2}[/tex]

Men jeg kommer ikke videre etter det.

Veldig bra, da ser du kanskje at:

[tex]\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex]

Så står du igjen med 5 =) Grunnen til at du kan gjøre det slik, er jo fordi de har felles faktor [tex]\sqrt{2}[/tex]. Hadde det siste leddet hatt faktor [tex]\sqrt{3}[/tex], kunne du selvsagt ikke gjort det slik.

Prøv samme metode for neste uttrykk.
Oppg. 2

Jeg gir deg like så godt to løsninger, en lett, og en litt vanskelig:

1:

Når du subtraherer en lineær funksjon fra en annengradsfunksjon, vet du jo at den lineære funksjonen ikke inneholder faktoren [tex]x^2[/tex]. Derfor vil den nye funksjonen inneholde [tex]x^2[/tex]-faktoren, og vil dermed være en annengradsfunksjon.

2:

En polynomfunksjon kan skrives som [tex]\sum_{n=0}^{N} a_nx^n[/tex], og en annengradsfunksjon vil dermed være på formen [tex]f(x) = \sum_{n=0}^{n=2} a_nx^n = a_2x^2 + a_1x + a_0[/tex]. Hvis vi så har en lineær funksjon, kan denne skrives som [tex]g(x) = \sum_{n=0}^{n=1} b_nx^n = b_1x + b_0[/tex]

En funksjon [tex]h(x)[/tex], definert som [tex]h(x) = f(x) - g(x)[/tex], vil alltid være på formen:

[tex]h(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0 - b_1x - b_0 = a_2x^2 + x(a_1-b_1) + a_0 - b_0[/tex]

Altså en annengradsfunksjon. QED.

Metode to er selvsagt mye grundigere, men tror ikke det kreves av dere å finne en slik funksjon på flervalgsoppgavene. Men det kan uansett hjelpe på forståelsen =)

mikki155 wrote:Veldig bra, da ser du kanskje at:

[tex]\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex]

Så står du igjen med 5 =) Grunnen til at du kan gjøre det slik, er jo fordi de har felles faktor [tex]\sqrt{2}[/tex]. Hadde det siste leddet hatt faktor [tex]\sqrt{3}[/tex], kunne du selvsagt ikke gjort det slik.

Jeg trodde det var nettopp det jeg ikke kunne gjøre.

Takker så mye.

mikki155 wrote:Prøv samme metode for neste uttrykk.

Jeg gir deg like så godt to løsninger, en lett, og en litt vanskelig.

Tror jeg henger med på begge to, takk så mye!

Noen tanker om oppgave 3?

Har gjort noen forsøk, men er litt i villrede akkurat nå.

Står det ingenting om inntektene for varen? Eller er det noe jeg misforstår? Kan se på det når jeg kommer hjem om noen timer, om ikke det er noen andre som har noe lurt på gang ^^

Oppgave 3:

Det koster [tex]C(x) = 4x + 10[/tex] å lage x antall varer, mens én vare gir en inntekt [tex]-x + 12[/tex]. Derfor må inntekten for x antall varer bli [tex]I(x) = x(-x+12) = -x^2 +12x[/tex]

Overskuddet blir da: [tex]O(x) = I(x) - C(x) = -x^2 + 12x -(4x + 10) = -x^2 + 8x - 10[/tex], hvilket var det som skulle vises

Edit: Ble litt usikker her, men svaret ble i alle fall riktig

Aha, se det ^^ Den var litt tricky, ja :p

Aha!

Genialt, TTT.

Eksamenen er ganske enkel, så jeg satser på fullt hus på mandag, men mulig jeg må plage dere litt mer i løpet av helgen om det blir krise.

Takk for hjelpen til begge to!

*Hoste Krempte*

For å gi faktoriseringen litt mer mening, kan du for eksempel
tenke på $\sqrt{2}$ som epler, da har du $2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$
altså 3 + 2 epler som selvsagt blir 5 epler. Alternativt kan du forkorte
bort $\sqrt{2}$ med en gang, siden alle leddene inneholder $\sqrt{2}$.

Tilslutt kan det og nevnes at du kan trekke ut en felles faktor $\sqrt{2}$ fra begge
leddene og få $\sqrt{2} (2 + 3)$. Selv føler jeg banan og eple analogien gjør
ting lettere for meg. Har jeg en viss mengde av noe, og en annen mengde
kan jeg jo selvsagt legge disse sammen. =)

For å pirke enda mer så kan ikke en vilkårlig funksjon skrives som
$$
f(x) \neq \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n}
$$
Dette krever blant annet deriverbarhet, og konvergens. Mer konkret
må $f$ være en analytisk funksjon. En analytisk funksjon er en
uendelig deriverbar funksjon ($f \subset C^\infty$) som har den egenskapen at
Taylorrekka omkring envher $x_0$
$$
T(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n
$$
Konvergerer uniformt mot $f(x)$.

Som et moteksempel så har eksempelvis så er $f(x) = e^{-1/x^2}$ uendelig mange
ganger deriverbar i origo. Men funksjonen er ikke analytisk. Siden taylorrekka ikke konvergerer og dermed kan ikke funksjonen bli skrevet på den formen ovenfor.
Absolutverdi funksjonen $|x|$ er heller ikke analytisk usw..

Takker, Nebuchadnezzar.

Er med på eplene, men den siste der er litt over the top for meg akkurat nå.

Et nytt basic algebra spørsmål.

Hva er reglene for å sette parentes rundt uttrykk?

Er dette noe man alltid skal gjøre? Det endrer jo fundamentalt regnestykket om det er negative fortegn. Har gjort noen slurvefeil her, men er litt usikker på om parentes er noe jeg alltid skal sette? Skal man alltid gjøre det når man subtraherer og adderer uttrykk med flere ledd?

Det siste jeg skrev var utelukkende ment for mikki155, så bare å glemme den biten.
Angående parenteser sa faren min en gang at du aldri kan ha for mange parenteser.
Eneste er at du må huske å gange alle ledd med -1 når du løser opp parentesen

\begin{align*}
a - (b - c) & = a + (-1)\bigl(b + (-1)c\bigr) \\
& = a + (-b + (-1)(-1)c) \\
& = a + (- b + c) \\
& = a - b + c
\end{align*}
Føler jeg er en grei måte å tenke på det på.

Beklager, jeg mente vel egentlig å si at en polynomfunksjon kan representeres på formen [tex]\sum_{n=0}^{N} a_nx^n[/tex]
Den stemmer jo selvsagt ikke for en vilkårlig funksjon ^^