matematikk.net

dy/dx = y/2x - hva gjør jeg galt?

[itgl][/itgl]dy/y = [itgl][/itgl]dx/2x
ln|y| = ln|2x| + Cc
y = 2x + C

∫dx/2x =1/2lnx + c

Derfor blir svaret

lny = ln[rot][/rot]x + C1

y = C[rot][/rot]x

Åja, litt triksing, takk!

Sliter mer med denne:

dy/dx = 1 - y[sup]2[/sup]
[itgl][/itgl] dy/(1-y[sup]2[/sup]) = [itgl][/itgl] 1 dx
-2y * ln|1-y[sup]2[/sup]| = x + c

Jeg kan nevne at svaret skal bli y = (Ce[sup]2x[/sup] -1) / (Ce[sup]2x[/sup] + 1), tror det må en del omgjøring til.

Du har gjort feil i beregningen av integralet

[itgl][/itgl] dy/(1 - y[sup]2[/sup]).

1/(1 - y[sup]2[/sup]) har ikke y*ln|1 - y[sup]2[/sup]| som en antiderivert. Delbrøkoppspaltning gir

(1 - y[sup]2[/sup]) = (1/2)[1/(1 - y) + 1/(1 + y)]

Altså blir

[itgl][/itgl] [1/(1 - y) + 1/(1 + y)] dy = [itgl][/itgl] 2 dx.

Åja, men kunne jeg fått sett delbrøkoppspaltningen?

1-y^2 = (1-y)(1+y)

1/(1-y^2) = a/(1-y) + b/(1+y)

1 = a(1+y) + b(1-y)

Alt1:
y = 1 gir a = 1/2

y = -1 gir b = 1/2

Alt2:
1 = a + ay + b - by = (a-b)y + (a+b)

a-b = 0 => a = b

a+b = 1 => a = b = 1/2

Takk, er ikke helt stødig på den biten, så var kjekt å se det.

Står da:

[itgl][/itgl] [1/(1 - y) + 1/(1 + y)] dy = [itgl][/itgl] 2 dx
ln|1-y| + ln|1+y| = 2x + C
ln|(1-y)(1+y)| = 2x + C
1 + y[sup]2[/sup] = e[sup]2x + C[/sup]

Dit kommer jeg.

Det står:

1-y^2 = e^(2x+c)
y^2 = 1- e^2x*e^c e^c = C ny konstant

y^2 = 1-Ce^2x
Eventuelelle startverdier gir om du skal ha den positive eller negative roten som svar. Viss det x er en tidsvariabel vil det selvsagt bli positve svaret. som gjelder.

Du skriver:

∫ [1/(1 - y) + 1/(1 + y)] dy = ∫ 2 dx
ln|1-y| + ln|1+y| = 2x + C

Men du har feil fortegn på [itgl][/itgl] dy/(1 - y)! Det skal være

∫ [1/(1 - y) + 1/(1 + y)] dy = ∫ 2 dx

- ln|1 - y| + ln|1 + y| = 2x + C (C vilkårlig konstant)

ln|(1 + y) / (1 - y)| = 2x + C osv.

Denne oppgaven gir jeg nesten opp, kan ikke fatte hvordan man kommer til det fasitsvaret. Diff. ligninger, akk!