Hvis vi får oppgitt sinus, cosinus eller tangens til en vinkel, f.eks. at [tex]\mathrm{tan}(\alpha )= \sqrt{3}[/tex], da kan vi skrive (på kalkulatoren om en ikke kan det utenat) [tex]\mathrm{tan}^{-1}( \sqrt{3} )[/tex], og vi får [tex]\alpha =60^{\circ}[/tex] til svar.
Normalt betyr opphøyd i -1 at det "egentlig" står 1 delt på det som blir opphøyd. Hvorfor skriver vi da opphøyd i -1 i denne sammenhengen? Vi får jo egentlig dette (som er feil)
[tex]\mathrm{tan}^{-1}( \sqrt{3} )=(\frac{\mathrm{sin}\sqrt{3}}{\mathrm{cos}\sqrt{3}})^{-1}=\frac{\mathrm{cos}\sqrt{3}}{\mathrm{sin}\sqrt{3}}\approx 33[/tex]
Opphøyd i -1 har tydeligvis flere betydninger? Hvis jeg har [tex]\frac{1}{\mathrm{sin}x}[/tex], blir det feil å skrive dette som [tex]\mathrm{sin}^{-1}x[/tex]? (kommer kanskje an på om [tex]x[/tex] er en vinkel eller et tall?)
tan^-1 x vs (tan x)^-1
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Du har helt rett. $^{-1}$ betyr generelt "invers", men i normal aritmetikk og algebra, så er det snakk om den "multiplikative" inversen, som er som du sier den som gjør at $(\frac ab)^{-1} = \frac ba$. Den multiplikative inversen til et tall a, er et tall b som oppfyller at a*b = 1, der 1 er den multiplikative "identitet".
F. eks.: Den multiplikative inversen til 3, er 1/3 fordi 3 * (1/3) = 1.
Vi har jo også additiv invers. Den additive inversen til et tall a, er et tall b som oppfyller at a+b = 0, der 0 er den additive identitet.
F. eks.: Den additive inversen til 3 er -3, fordi 3 + (-3) = 0.
Når det gjelder de trigonometriske funksjonene (og funksjoner generelt), så er den funksjonelle inversen til en funksjon, den funksjonen som opphever den første.
Eksempel med tangens: $\arctan (\tan x) = x$ og i tillegg $\tan(\arctan x) = x$
Det samme gjelder derivasjon og integrasjon.
$\int f'(x) dx = f(x)$ og $\frac d{dx} \int f(x)dx = f(x)$
F. eks.: Den multiplikative inversen til 3, er 1/3 fordi 3 * (1/3) = 1.
Vi har jo også additiv invers. Den additive inversen til et tall a, er et tall b som oppfyller at a+b = 0, der 0 er den additive identitet.
F. eks.: Den additive inversen til 3 er -3, fordi 3 + (-3) = 0.
Når det gjelder de trigonometriske funksjonene (og funksjoner generelt), så er den funksjonelle inversen til en funksjon, den funksjonen som opphever den første.
Eksempel med tangens: $\arctan (\tan x) = x$ og i tillegg $\tan(\arctan x) = x$
Det samme gjelder derivasjon og integrasjon.
$\int f'(x) dx = f(x)$ og $\frac d{dx} \int f(x)dx = f(x)$
Interessant! Så hvis jeg lar [tex]f(x)=e^x[/tex], så kan jeg si at [tex]f^{-1}(x)=\mathrm{ln}x[/tex]?
Og er det da forskjell på [tex]f^{-1}(x)[/tex] og [tex](f(x))^{-1}[/tex]? Er dette entydig, eller kan den siste tolkes som [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex]?
Og er det da forskjell på [tex]f^{-1}(x)[/tex] og [tex](f(x))^{-1}[/tex]? Er dette entydig, eller kan den siste tolkes som [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex]?
Ja, notasjonen $f^{-1}$ betyr den inverse av f ved komposisjon av funksjoner. For ikke å forveksle med 1/f skriver man trolig -1 i eksponenten rett etter funksjonsnavnet og ikke etter argumentet, slik du illustrerte.skf95 wrote:?
Og er det da forskjell på [tex]f^{-1}(x)[/tex] og [tex](f(x))^{-1}[/tex]? Er dette entydig, eller kan den siste tolkes som [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex]?
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Det er riktigskf95 wrote:Interessant! Så hvis jeg lar [tex]f(x)=e^x[/tex], så kan jeg si at [tex]f^{-1}(x)=\mathrm{ln}x[/tex]?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Ja, og som tilleggsinfo; hvis du tegner grafene $f(x) = e^x$, $g(x) = \ln x$, og $h(x) = x$ så vil du se at siden e^x og lnx er inverser av hverandre, så vil de være hverandres speilvendte, om linja y=x.skf95 wrote:Interessant! Så hvis jeg lar [tex]f(x)=e^x[/tex], så kan jeg si at [tex]f^{-1}(x)=\mathrm{ln}x[/tex]?