Funksjoner av flere variabler

[studEmma]

Hei!

Jeg har en oppgave som jeg sliter litt med å skjønne. Har prøvd å lese meg opp på det, men føler det er noe med forståelsen som ikke er helt på plass enda. Her er den iallefall:
La f(x,y) = ln (x+7) - ln(y+4) for x > -7 pg y > -4. I hvilken retning ut fra punktet (x,y) = (1,2) vokser f raskest? Hvilke (to) retninger ut
fra dette punktet har stigningstallet 7/39? Hva er vinkelen mellom disse retningene og gradientretningene?

Det jeg har klart selv er å finne ut hvilken retning f vokser raskest. Har partieltderivert og funnet gradienten, for så å sette inn puntet.
fx= 1/x+7 fy= -1/y+4 Gradienten: (1/8, -1/6) og som enhetsvektor: (3/5, -4/5)

Det jeg nå sliter med er å finne ut hvilke to retninger ut fra punktet (1,2) som har stigningstallet 7/39. Da skal jeg vel finne et svar på vektorform, eller? Har det noe med retningsderivert å gjøre? Tenkte at det jeg muligens skulle gjøre er å "derivere i både x og y retning hver for seg" slik at man da finner to retninger på den måten. Er det noen som kan hjelpe meg, har prøvd med noen ligninger, men det ble bare tull! Hehe.

På forhånd tusen takk!

Hilsen
Emma

[Vektormannen]

Ja, er er nok den retningsderiverte en god idé. Du ønsker å finne retningen(e) som gjør at den retningsderiverte blir 7/39. Det kan være lurt å bruke at [tex]\nabla f(x,y) \cdot \hat{u} = |\nabla f(x,y)| \cdot 1 \cdot \cos(\theta)[/tex], der [tex]\theta[/tex] er vinkelen mellom retningsvektoren [tex]\hat{u}[/tex] og [tex]\nabla f[/tex].

[StudEmma]

Takk for svar!

Jeg henger ikke helt med på hvordan jeg skal komme frem til retningen, svaret skal vel være i vektorform? Jeg har jo ingen vinkel oppgitt i oppgaven, det skal jeg jo også finne.

Skal jeg bruke gradienten (1/8, -1/6) * vektor u = 7/39
Da er u retningen jeg skal finne? Men skal ikke den stå på enhetsvektorform?

[Vektormannen]

Vektorformen til retningen kan du finne når du vet vinkelen. Hvis vi sier at [tex]\hat u = (u_x, u_y)[/tex] så har vi at [tex]u_x = |\hat u| \cos \theta = \cos \theta[/tex] mens [tex]u_y = |\hat u| \sin \theta = \sin \theta[/tex]. Alternativt kan du jo med en gang se på [tex]|\nabla f(x,y)| \cdot (u_x, u_y) = 7/39[/tex] og bruke en ligningen du får da sammen med [tex]|\hat u|^2 = u_x^2 + u_y^2 = 1[/tex] (siden [tex]\hat u[/tex] har lengde 1) til å bestemme komponentene.

[StudEmma]

Vektorformen til retningen kan du finne når du vet vinkelen. Hvis vi sier at [tex]\hat u = (u_x, u_y)[/tex] så har vi at [tex]u_x = |\hat u| \cos \theta = \cos \theta[/tex] mens [tex]u_y = |\hat u| \sin \theta = \sin \theta[/tex]. Alternativt kan du jo med en gang se på [tex]|\nabla f(x,y)| \cdot (u_x, u_y) = 7/39[/tex] og bruke en ligningen du får da sammen med [tex]|\hat u|^2 = u_x^2 + u_y^2 = 1[/tex] (siden [tex]\hat u[/tex] har lengde 1) til å bestemme komponentene.

Jeg føler meg litt smådum, men jeg får det ikke til. Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal løse den ligningen: |∇f(x,y)|⋅(ux,uy)=7/39
Det var den jeg satte opp og prøvde meg på helt i starten, men jeg klarte ikke å løse den..! Jeg bruker kvadratoen av (1/8)^2 + (-1/6)^2 som |∇f(x,y)|
Deretter skal jeg gange dette ene tallet både med ukjent ux og uy? Så kommer jeg ikke videre..