Egg og sannsynlighet

[kariandersen]

Min datter har fått en matematikk oppgave som jeg ikke klarer å hjelpe henne med
Håper noen her inne kan

Oppgaveteksten lyder slik:

I en produksjon av egg, har vi sannsynligheten for å produsere et smittet egg med salmonella med 1%.

a) Hva er sannsynligheten for å få et smittet egg i en skuff med 20 egg?

b) Hva er sannsynligheten for å få to smittede egg i en skuff med 20 egg?

c) Hva er sannsynligheten for at skuffen med 20 egg er uten salmonella?

d) Finn forventet antall infeksjons-egg i en skuff med 20 egg?

e) Finn variansen og standardavviket.

Hilsen fortvilet mor!

[Buldos]

a)

1% er det samme som 0,01 i desimaltall.
Sanns. for at et av eggene er smittet blir da 20*0,01= 0,2. Det er altså 20% sjans!

b)

Her må du bruke svaret du fant i oppg. a. Altså 20 % sjanse for å få ET egg. For å finne sanns. for to må du multiplisere tallet.
0,2*0,2 = 0,04. Som er det samme som 4% sjans.

c)

Her må du gjøre det litt motsatt. Tips: Hva er sjansen for å IKKE få et egg med smitte?

d)
Bruk noe av informasjonen du fant i c

Spør hvis dere lurer på noe

[Aleks855]

a)

1% er det samme som 0,01 i desimaltall.
Sanns. for at et av eggene er smittet blir da 20*0,01= 0,2. Det er altså 20% sjans!

Forsiktig nå! Med denne logikken, så betyr det at hvis du har 100 egg, så er det 100% sannsynlighet for å ha et infisert egg. Er du enig i at det blir feil?

[Meth]

a)

1% er det samme som 0,01 i desimaltall.
Sanns. for at et av eggene er smittet blir da 20*0,01= 0,2. Det er altså 20% sjans!

Forsiktig nå! Med denne logikken, så betyr det at hvis du har 100 egg, så er det 100% sannsynlighet for å ha et infisert egg. Er du enig i at det blir feil?

Morsom oppgave faktisk, har et lite innspill å komme med her...

Tenker at det er viktig å huske på at det er ikke [tex]100\%[/tex] sjangse for å velge 1 infisert egg. Det er [tex]1\%[/tex].

Siden [tex]1\% = \frac{1}{100}[/tex], må vi huske på å dele svaret på [tex]100[/tex] en gang til.

Om jeg ikke er på bærtur, blir det slik: a) [tex]\frac{0,01*20}{100}=0,002[/tex] (eller [tex]0,2\%[/tex])

b) [tex]0,002*0,002=0,000004[/tex] (eller [tex]0,0004\%[/tex])

Er ikke helt sikker, bare å rette hvis jeg har misforstått helt.

[Realist1]

Du er nok dessverre på bærtur...

a)
Sjansen for å få et infisert egg er $1-0.99^{20} = 0.182 = 18.2 \, \percent$

[Brahmagupta]

Her var det visst mange tullete svar. Det korrekte er å gjenkjenne dette som en binomisk sannsynlighetsfordeling.
Vi lar [tex]X[/tex] være den tilfeldige (stokastiske) variabelen definert ved: [tex]X=[/tex] Antall smittede egg i skuffen.

Da får vi at [tex]P(X=x)={20\choose x} (0.01)^x(0.99)^{20-x}[/tex]

Oppgavene a), b) og c) løses henholdsvis ved å sette [tex]x[/tex] lik 1,2 og 0. Jeg kan forklare formelen litt nærmer med oppgave a) som
et eksempel.

Vi ønsker altså å finne sannsynligheten for at det er nøyaktig et infisert egg i en skuff på 20 egg (P(X=1)). Dette vil mer presist si å finne
sannsynligheten for at et egg er infisert og de 19 andre er friske. Vi nummererer eggen fra 1 til 20. Hva er så sannsynligheten for at egg nummer 1
er infisert og eggene 2 til 19 er friske. Jo, det er

[tex]P(egg 1 infisert)\times P(egg 2 friskt)\times P(egg 3 friskt)\times ...\times P(egg 20 friskt)=(0.01)(0.99)^{19}[/tex]

Men det trenger ikke å være egg 1 som er infisert, det kan like gjerne være et av de andre, så vi må multiplisere denne sannsynligheten med
antall måter vi kan plukke ut et egg av 20, som nettopp er [tex]{20\choose1}=20[/tex].

Oppgave c) og d) omhandler forventningsverdi, varians og standardavvik. For et binomisk forsøk kan følgende formler utledes:
[tex]E(X)=np[/tex]
[tex]Var(X)=np(1-p)[/tex]

[tex]SD(X)=\sigma_X=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{np(1-p)}[/tex]

Her p sannsynligheten for at et vilkårlig egg er infisert og n er antall egg i skuffen. E(X) er forventningsverdien, Var(X) er variansen og SD(X)
er standardavviket. Her er det bare å putte inn verdiene i formlene.

[Realist1]

Her var det visst mange tullete svar.

Vel, på a) tar du faktisk feil selv. I alle fall hvis trådstarter har skrevet oppgaven av riktig, men det må vi jo anta at hun har gjort.

Det eneste som ikke oppfyller betingelsen i a), er hvis alle eggene er friske, altså $0.99^{20}$.

Dermed blir svaret $1-0.99^{20}$, som tilsvarer ca 18,2%.

[Brahmagupta]

Du tolker oppgave a) som hva er sannsynligheten for å få minst et smittet egg. Jeg vil si det er rimeligere å tolke dette som sannsynligheten
for å få nøyaktig et smittet egg blant de 20, ellers burde minst vært spesifisert.

[Realist1]

Du tolker oppgave a) som hva er sannsynligheten for å få minst et smittet egg. Jeg vil si det er rimeligere å tolke dette som sannsynligheten
for å få nøyaktig et smittet egg blant de 20, ellers burde minst vært spesifisert.

Det aller rimeligste er vel å tolke det som det står. Det er forskjell på "et" og "ett".

"et" er en artikkel, mens "ett" er et tallord. Hadde det stått "Hva er sannsynligheten for å få ett smittet egg" hadde jeg vært enig. Men det står "Hva er sannsynligheten for å få et smittet egg". Da er det altså 1 minus sannsynligheten for at du IKKE har fått et smittet egg. Altså $1-0.99^{20}$.

Det er selvsagt mulig at hun har skrevet av oppgaven feil, eller at oppgaven i seg selv er skrevet feil, og da vil du selvfølgelig ha helt rett. Men dette koker egentlig mer ned til en grammatikkdiskusjon enn en mattediskusjon, og er vel i så måte ikke så interessant.

[kariandersen]

Læreren er da ikke norsk, så her har jeg prøvd tolke oppgavene.

Det står egentlig "Hva er sannsynligheten for å få en infeksjonsegg i en skuf av 20 egg"

[Realist1]

Læreren er da ikke norsk, så her har jeg prøvd tolke oppgavene.

Det står egentlig "Hva er sannsynligheten for å få en infeksjonsegg i en skuf av 20 egg"

Hehe... Ja, ser at det er vanskelig. Jeg ville spurt for sikkerhets skyld. "en" kan jo også bety både "one" og "a" på engelsk, altså både tallord og artikkel, som nevnt. Det kommer vel helt an på hvordan han trykklegger ordet når han leser oppgaven muntlig.

Som Brahmagupta sier, så er det god praksis å skrive enten "minst to egg" eller "nøyaktig to egg"/"to, og bare to, egg". Når det bare står "to egg", så kan det argumenteres for begge deler, selv om i tilfellet med "to", så er jeg enig i at det er mest nærliggende å tolke som "nøyaktig to". Men med et/ett, derimot, så er det helt umulig å tolke, og det koker ned til grammatikk. Når det i tillegg er skrevet på dårlig norsk så blir det en helt håpløs oppgave...

Jeg ville som sagt spurt læreren. Hvis det ikke lar seg gjøre, eller er vanskelig å få til, så ville jeg gjettet på "minst ett", siden det er enklest å regne ut. Jeg ville også forberedt meg på å argumentere for den tolkningen, samt presentere alternativ løsning dersom han mente "nøyaktig ett". (Se Brahmaguptas løsning)

[Brahmagupta]

Jeg står sterkt på den tolkningen jeg presenterte i forrige innlegg. Oppgaven er lagt opp til å handle om binomisk sannsynlighet.
Da er det naturlig å starte med utregning av noen nøyaktige verdier og deretter eventuelt ha spørsmål av typen finn [tex]P(X\leq x)[/tex].

I tillegg brukes sannsynligheten man skal regne ut i oppgave c) for å finne sannsynligheten i a), forutsatt at din tolkning er korrekt.
En slik oppbygning gir veldig liten mening.

[Realist1]

Jeg står sterkt på den tolkningen jeg presenterte i forrige innlegg. Oppgaven er lagt opp til å handle om binomisk sannsynlighet.
Da er det naturlig å starte med utregning av noen nøyaktige verdier og deretter eventuelt ha spørsmål av typen finn [tex]P(X\leq x)[/tex].

I tillegg brukes sannsynligheten man skal regne ut i oppgave c) for å finne sannsynligheten i a), forutsatt at din tolkning er korrekt.
En slik oppbygning gir veldig liten mening.

Vel, slik oppgaven sto presentert i første post, med artikkelen "et", er det ikke et spørsmål om tolkning engang. Da er det bare én måte å tolke oppgaven på, og det er som "minst ett".

Når man får forklaring på hvordan oppgaven egentlig ble presentert, så kan man begynne å tolke og gjette. Og da er jeg enig i at det sannsynligvis er "nøyaktig ett" som menes. Jeg ville som sagt likevel på innleveringen "gjettet" at man mente "minst ett", siden det er enklest å regne ut, og så heller diskutert med læreren etterpå. Jeg skjønner heller ikke hva som er så bra med en oppgave hvor tre oppgaver bare går ut på å bytte x-verdien i formelen, fra 1 til 2 til 0. Da gir det i mine øyne mer mening med en variert oppgave hvor én deloppgave handler om forventningsverdier, én om varians og standardavvik, én hvor man får bruk for binomialkoeffisienten, én hvor man får bruk for hele binomialregla, og én hvor man bruker komplementær sannsynlighet. Rett og slett litt av hvert. Vi har definitivt hatt slike oppgaver på skolen.

[runa]

Kan dette være rett?
Tenker da binomisk sannsynlighet.. Vet ikke helt om jeg fikk til med Text - editor..

a) [tex]\binom{21}{1}\cdot 0,01^{1}\cdot 0,99^{19}= 0,615= 16,5\%[/tex]

b) [tex]\binom{20}{2}\cdot 0,01^{2}\cdot 0,99^{18}= 0,0518 = 1,58\%[/tex]

c)[tex]\binom{20}{0}\cdot 0,01^{0}\cdot 0,99^{20}= 0,8181 = 81,8\%[/tex]

d) Regn med at 1/100 egg er smittet i en pakke med 20 egg vil derfor 1/100x20 = 0,2 egg være smittet.

Vet ikke helt hvordan man regner ut varians og standardavvik..

[Realist1]

Kan dette være rett?
Tenker da binomisk sannsynlighet.. Vet ikke helt om jeg fikk til med Text - editor..
[...]

Se Brahmaguptas innlegg litt over her.

Da får vi at [tex]P(X=x)={20\choose x} (0.01)^x(0.99)^{20-x}[/tex]

Oppgavene a), b) og c) løses henholdsvis ved å sette [tex]x[/tex] lik 1,2 og 0.

Der har du en formel som du kan bruke for å løse oppgavene, bare sett inn for x.