Enkel faktorisering

[Argimetus]

Hei!

Hjernen min har gått i lås.

Hvordan faktoriserer jeg 2n^2+3n+1 steg for steg?

Jeg blir gal.

[Nebuchadnezzar]

Den enkleste måten å se det på for deg er nok å bruke
ABC formelen. La oss si at vi har $f(x) = ax^2 + bx +c$
som har røtter $x_0$ og $x_1$, altså $f(x_0)=f(x_1) = 0$.
Så kan $f(x)$ skrives som

$ \hspace{1cm}
f(x) = a(x - x_0)(x - x_1) = (ax - ax_0)(x - x_1)
$

En kan selvsagt også faktorisere polynomet uten bruk av ABC formelen
men det krever en liten faktoriseringstrollmann i magen. På den seriøse
siden så krever det bare erfaring, og ethvert går det svært raskt.

En kan skrive om polynomet på følgende vis

$ \hspace{1cm} \displaystyle
\begin{align*}
2n^2 + 3n + 1
& = [2n^2 + n] + [2n + 1] \\
& = \color{blue}{n}(\color{red}{2n + 1}) + \color{blue}{1}(\color{red}{2n + 1}) \\
& = (\color{blue}{n + 1})(\color{red}{2n + 1})
\end{align*}
$

[Brahmagupta]

For et andregradpolynom [tex]P(n)=an^2+bn+c[/tex] så vil du kunne faktorisere dette som [tex]a(n-r_1)(n-r_2)[/tex] hvor
[tex]r_1,r_2[/tex] er løsningene til andregradligningen [tex]P(n)=0[/tex] altså [tex]an^2+bn+c=0[/tex].

Eventuelt kan du se faktoriseringen direkte [tex]2n^2+3n+1=(2n^2+n)+(2n+1)=n(2n+1)+(2n+1)=(2n+1)(n+1)[/tex]

For å bruke standardmetoden på ditt eksempel:
Vi løser først [tex]2n^2+3n+1=0[/tex].
Ved andregradformelen får vi [tex]r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm1}4[/tex]
som gir [tex]r_1=-\frac12[/tex] og [tex]r_2=-1[/tex].
Dermed får vi faktoriseringen [tex]a(n-r_1)(n-r_2)=2(n+\frac12)(n+1)=(2n+1)(n+1)[/tex]