Integral

[Guest]

Hvordan finner jeg

[itgl][/itgl](cosx)^2 dx?

Har prøvd både med delvis integrasjon og integrasjon ved substitusjon...

[Andrina]

Siden cos(2x)=(cos(x))^2-(sin(x))^2=(cos(x))^2+(cos(x))^2-1=2(cos(x))^2-1,
er (cos(x))^2=1/2*[cos(2x)+1].

Så integralet blir [itgl][/itgl](cos(x))^2dx=[itgl][/itgl]1/2*[cos(2x)+1]dx
=1/2[itgl][/itgl]cos(2x)dx+[itgl][/itgl]1/2dx

Det første kan du løse med en enkel substitusjon u=2x, da blir dx=1/2du.

[itgl][/itgl](cos(x))^2dx=1/2[itgl][/itgl]cos(u)1/2du+1/2x
=1/4*sin(u)+1/2*x=1/4*sin(2x)+1/2*x

[Guest]

Takker for svar, men dette ligger utenfor det vi har lært om trigonometriske funksjoner.

Jeg ser at dette blir riktig, men kan det være en enklere/annen måte å løse dette på ??

[Solar Plexsus]

Man kan finne [itgl][/itgl]cos[sup]2[/sup]x dx ved delvis integrasjon, dvs. vha. av regelen [itgl][/itgl] u'v dx = uv - [itgl][/itgl] uv' dx
der u = v' = cos x. Da blir

[itgl][/itgl]cos[sup]2[/sup]x dx = sin x[sub]*[/sub]cos x - [itgl][/itgl] sin x[sub]*[/sub](-sin x) dx

[itgl][/itgl]cos[sup]2[/sup]x dx = sin x[sub]*[/sub]cos x + [itgl][/itgl] sin[sup]2[/sup]x dx

[itgl][/itgl] cos[sup]2[/sup]x dx = sin x[sub]*[/sub]cos x + [itgl][/itgl] 1 - cos[sup]2[/sup]x dx

[itgl][/itgl] cos[sup]2[/sup]x dx = sin x[sub]*[/sub]cos x + [itgl][/itgl] dx - [itgl][/itgl] cos[sup]2[/sup]x dx

Ved å flytte [itgl][/itgl] cos[sup]2[/sup]x dx over på venstre side av likhetstegnet og deretter dele begge sider med 2, får vi at

[itgl][/itgl] cos[sup]2[/sup]x dx = (cos x [sub]*[/sub]sin x + x)/2 + C (C vilkårlig konstant).

[Guest]

Ja, må innrømme at dette er bedre Solar Plexsus