matematikk.net

Heisann. Lurer litt på noe angående vektorer, f.eks. denne oppgaven:

Punktene A(-3,-2), B(2,1) og C(0,5) er hjørner i parallellogrammet ABCD. Find koordinatene til D ved regning.

(vet ikke helt hvoran jeg får pil over bokstavene i tex, men det er altså vektorer)

AD = BC = [0-2, 5-1] = [-2,4]

Det er greit nok, det jeg sliter med å forstå er origo. Altså, hvorfor er OA + AD = OD?

Dette er noe jeg har litt vanskelig med å forstå i flere oppgaver der man skal finne fram til koordinater ved regning. Håper noen kan hjelpe

Du kan se på en vektor som en pil som bruker de fire retningene opp, ned, høyre og venstre til å koble sammen to punkter. For å komme fra punktet (0,0) til punktet (1,1), for eksempel, så må du en til høyre og en opp. Det skriver vi som [1,1].

La oss si at du har en vektor $ \vec{a}$ som sier at du skal én til høyre og én opp, altså $\vec{a}=[1,1]$.
La oss nå også si at du har en vektor $\vec{b}$ som sier at du skal to til venstre og én opp, altså $\vec{b}=[-2,1]$.

Hvis vi nå også antar at $\vec{b}$ begynner der $\vec{a}$ slutter, ser du da at de to vektorene tilsammen gir en retning på én til venstre og to opp? Altså $\vec{a} + \vec{b} = [-1,2]$

Du har lært å regne på dette, ser jeg, så du skjønner greien med å legge sammen $x$-verdier og $y$-verdier hver for seg, antar jeg.

La oss nå si at $\vec{a}$ startet i origo. Ser du da at $\vec{a}+\vec{b}$ ender opp i punktet (-1,2)? Hvis du kaller dette punktet for $Q$, og det punktet der $\vec{a}$ slutter og $\vec{b}$ begynner for $P$, så har du at $\vec{a}=\vec{OP}$ og $\vec{b}=\vec{PQ}$. Du ser at $\vec{a}+\vec{b}$ gir deg vektoren [-1,2], som er akkurat det samme som $\vec{OQ}$. Altså, $\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}$.

Alt handler om at først summerer du alle de forskjellige "instruksjonene" i $x$-retning/"høyre og venstre" i alle vektorene, og slår dem sammen til $x$-retningen i den éne totalvektoren. Deretter summerer du alle instruksjonene i $y$-retning/"opp og ned" fra alle vektorene, og legger dem sammen i $y$-retningen i totalvektoren.

Totalt står du altså igjen med én vektor som inneholder alle retningsinstruksjonene fra alle vektorene du summerer. Derfor blir OA+AD=OD. Eneste kriterie for at dette skal holde, er at vektorene "følger etter" hverandre, det vil si at de er sammenkoblet i et punkt. Eller, sagt på en annen måte: der én vektor slutter, må neste begynne. I OA+AD, så gjør de jo det; i punktet A.