$e^z$ der $z\in\mathbb C$

[Aleks855]

Ser i boka at per definisjon så er $e^z = e^a(\cos b + i\sin b)$ der $z = a+bi$

Er dette noe man bare har definert og vært fornøyd med fordi det er konsekvent med andre regneregler, eller kan dette bevises på noen måte?

[Vektormannen]

At [tex]e^z = e^{a + bi} = e^a \cdot e^{bi}[/tex] defineres vel slik fordi vi ønsker at de vanlige eksponentialreglene skal gjelde også for komplekse tall. Resten, at den bakerste faktoren blir [tex]cos b + i \sin b[/tex] følger fra Eulers formel, som er et resultat og ikke en definisjon.

[Aleks855]

Det var jo enda godt. I Lindstrøms bok starter et delkapittel med å definere $e^z = e^a(\cos b + i\sin b)$ og går videre med å vise Euler's Identity som et resultat av dette.

Jeg driver og lager videoer om dette nå, og det er litt vrient å se hvilken vei jeg skal gå. Det virker som om den "rette" veien å gå, vil være å Taylor-utvikle $e^{ix}$ og vise på den måten at $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, men det virker veldig round-about... Det beste jeg kan gjøre blir vel kanskje å nevne denne fremgangsmetoden for beviset, og kanskje bare skissere det.

[Gustav]

Er dette noe man bare har definert og vært fornøyd med fordi det er konsekvent med andre regneregler, eller kan dette bevises på noen måte?

Man kan ikke bevise en definisjon, men det er flere gode grunner til å definere $e^z$ som $e^a(\cos b+i\sin b )$

1. Det gir riktig form( slik vi ville forventet fra det reelle tilfellet) på den deriverte siden $\frac{d}{dt} e^{tz} = \frac{d}{dt} e^{ta}(\cos tb+i\sin tb ) = ae^{ta}(\cos tb+i\sin tb ) + e^{ta}(-b\sin tb+bi\cos tb)= (a+ib)e^{ta}\cos tb + (-b+ai)e^{ta}\sin tb = (a+ib) e^{ta}(\cos tb+\sin tb) = ze^{tz}$

2. Definisjonen er i overenstemmelse med Taylorrekka til $e^x$ dersom man naivt substituerer $x\to ix$ i formelen:

For reelle x er Taylorrekka $e^x =\sum_n \frac{x^n}{n!}$,

så $\sum_n \frac{(ix)^n}{n!}= \sum_{like \,n} \frac{(-x)^n}{n!}+i \sum_{odde \,n} \frac{(-x)^n}{n!}=\cos x + i\sin x$

3. Regneregelen for produkt stemmer siden (la $z=a+ib$, $w=c+id$)

$e^{z}\cdot e^{w} = e^a(\cos b+i\sin b )e^c(\cos d+i\sin d ) = e^{a+c}(\cos b \cos d -\sin b \sin d +i(\cos b \sin d + \sin b \cos d)) = e^{a+c} (\cos (b+d)+i\sin (b+d))=e^{z+w}$


En annen mulighet er å definere $e^z$ direkte som $\sum_n \frac{z^n}{n!}$.

En tredje mulighet er å definere $e^z$ som den (unike) analytiske kontinuasjonen av $e^x$ på $ \mathbb{R}$-

En fjerde mulighet er å definere e^z som løsningen av initialverdiproblemet $\frac{df}{dz}=f$, $f(0)=1$

En femte mulighet som grensen $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{z}{n})^{n}$

[Zahand]

[tex]e^{\lambda t} = e^{(\alpha +i \beta t)} = e^{\alpha t}e^{i\beta t}[/tex]

Der [tex]\alpha t[/tex] er den reele delen.

[tex]e^{z}= 1+ z + \frac{z^{2}}{2!}+ \frac{z^{3}}{3!}+... = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}[/tex]

Vi vet at Maclaruin serien over konvergerer til [tex]e^{z}[/tex] for all reele verdier for z. Dermed vet vi atferden til [tex]e^{\alpha t}[/tex].

Hvis vi tar for oss [tex]e^{i \beta t}[/tex]:

[tex]e^{i \beta t} = 1+ (i \beta t) + \frac{(i \beta t)^{2}}{2!} + \frac{(i \beta t)^{3}}{3!} + \frac{(i \beta t)^{4}}{4!} + \frac{(i \beta t)^{5}}{5!} + ...[/tex]

[tex]i^{2} = -1[/tex], omgrupperte termene inn i reelle og imaginære deler.

[tex]= [1-\frac{(\beta t)^{2}}{2!}+\frac{(\beta t)^{4}}{4!}-...] + i [(\beta t)-\frac{(\beta t)^{3}}{3!}+\frac{(\beta t)^{5}}{5!}-...][/tex]

[tex]=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(\beta t)^{2n}}{(2n)!} +i \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(\beta t)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Disse summene er representasjoner for Mauclerinseriene:

[tex]\cos \beta t = 1-\frac{(\beta t)^{2}}{2!}+\frac{(\beta t)^{4}}{4!}-... = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(\beta t)^{2n}}{(2n)!}[/tex]

[tex]\sin \beta t = (\beta t)-\frac{(\beta t)^{3}}{3!}+\frac{(\beta t)^{5}}{5!}-... \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(\beta t)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Disse settes inn i [tex]e^{i \beta t} = \cos \beta t + i \sin \beta t[/tex]

Edit: Brutke en del tid på dette. Ser at plutarco ble ferdig før meg

[Aleks855]

Wow! Takk for ekstremt fyldige svar!

[Nebuchadnezzar]

Det var jo enda godt. I Lindstrøms bok starter et delkapittel med å definere $e^z = e^a(\cos b + i\sin b)$ og går videre med å vise Euler's Identity som et resultat av dette.

Jeg driver og lager videoer om dette nå, og det er litt vrient å se hvilken vei jeg skal gå. Det virker som om den "rette" veien å gå, vil være å Taylor-utvikle $e^{ix}$ og vise på den måten at $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, men det virker veldig round-about... Det beste jeg kan gjøre blir vel kanskje å nevne denne fremgangsmetoden for beviset, og kanskje bare skissere det.

Det er ikke nødvendig å vise formelen ved hjelp av taylor (selv om den selvsagt funker)
Selv foretrekker jeg fremgangsmåten vist i boken "Visual Complex Analysis" som forøvrig
er en av de beste og mest visuelle bøkene jeg noensinne har lest. Den finnes dessverre lett
tilgjengelig på verdsveven med søkeordene "bokens navn pdf"

Jeg skisserer likevel grovt argumentet. Det er kjent at å gange et komplekst tall $z$
med $i$ tilsvarer en rotasjon av $z$ på 90 grader eller $\pi/2$ omkring origo. Se påfølgende figur



Det kan og vises ved å benytte seg av at dersom prikkproduktet mellom to vektorer er null
så står vektorene vinkelrett på hverandre. En bruker dette på $iz$ og $z$. Men hvorfor bruke
dypere resultater når en kan vise det trivielt via geometri..

Uansett. Den vesentlige egenskapen med $e^x$ er at den er sin egen deriverte. Altså at

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} e^t = e^t
$

Vi definerer den komplekse størrelsen $e^{z}$ på samme måte. Altså at $e^z$ er definert
slik at $[ e^z ]' = e^z$. For nå velger vi å konsentrere oss om $e^{iy}$ hvor $y$ er reell.
Plutarco og Vektormannen har allerede vist at siden $z = x + i y$ så har en

$ \hspace{1cm}
e^z = e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy}
$

Det vi ønsker å vise er at $e^{iy}$ parametriserer enhetssirkelen. Vi velger å definere følgende

$ \hspace{1cm}
f(t) = e^{it}
$

Hvor igjen $t$ er reell, og nå kan betraktes som en tiden. $f(t)$ kan dermed sees på som en
parametrisering av en partikkel i planet. Ved $t=0$ så er $f(0) = 1$, så partikkelen begynner
i punktet $(1,0)$ eller $1 + 0i$. For å finne den videre bevegelsen ser vi på hvilken retning
hastighetsvektoren har.

$ \hspace{1cm}
v(t) = f'(t) = i \cdot e^{it}
$

Interessant! Vi ser altså at hastighetsvektoren alltid står vinkelrett til posisjonsvektoren til
$f$. Ved $t=0$ så er hastighetsvektoren $v(0) = i$, slik at partikkelen beveger seg rett oppover.



Ved litt tekning ser vi at siden hastigheten alltid står vinkelrett på, og initialposisjonen
var $(1,0)$ så vil partikkelen reise rundt enhetssirkelen. Dette er ikke den eneste
parametriseringen av enhetssirkelen, og vi har også

$ \hspace{1cm}
r(t) = \cos t + i \sin t
$

En kan sjekke at disse to parametriseringene er identiske ved å se at de starter i samme
punkt, og har samme hastighet. Som sagt er dette bare en skisse men det gav meg en
god intuisjon på hvorfor $e^{iy}$ reiser langs enhetssirkelen.