Heisann!
Oppgaven er å finne konvergensintervall for
[tex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x+2)^n}{n2^{n-1}}[/tex]
Etter litt regning får jeg [tex]|x|<2[/tex] altså [tex]-2 < x < 2[/tex], sjekking av endepunkt gir for [tex]x = 2[/tex] at rekken divergerer, for [tex]x = -2[/tex], gir at hele det generelle leddet blir 0, er dette konvergens?
Konvergensintervall
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Ser ut som du har bommet litt på konvergensintervallet.
Med rottesten får jeg at
[tex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{(x+2)^n}{n2^{n-1}}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x+2|}{\sqrt[n]{n}2^{1-\frac1{n}}}=\frac12 |x+2|[/tex]
For at rekken skal konverger må vi altså ha [tex]-2<x+2<2 \Leftrightarrow -4<x<0[/tex]
Vi sjekker så endepunktene:
[tex]x=0[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n}{n2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac2{n}}[/tex] som divergerer.
[tex]x=-4[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-2)^n}{n2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2(-1)^n}{n}}[/tex]
som konvergerer ved testen for alternerende rekker.
Når det kommer til spørsmålet ditt om rekken konvergerer hvis det generelle leddet er 0, så er svaret ja. Summerer vi
0 uendelig mange ganger får vi 0.
Med rottesten får jeg at
[tex]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{(x+2)^n}{n2^{n-1}}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x+2|}{\sqrt[n]{n}2^{1-\frac1{n}}}=\frac12 |x+2|[/tex]
For at rekken skal konverger må vi altså ha [tex]-2<x+2<2 \Leftrightarrow -4<x<0[/tex]
Vi sjekker så endepunktene:
[tex]x=0[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n}{n2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac2{n}}[/tex] som divergerer.
[tex]x=-4[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-2)^n}{n2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2(-1)^n}{n}}[/tex]
som konvergerer ved testen for alternerende rekker.
Når det kommer til spørsmålet ditt om rekken konvergerer hvis det generelle leddet er 0, så er svaret ja. Summerer vi
0 uendelig mange ganger får vi 0.