Kryssprodukt.

[Zahand]

Hei. Det er en ting jeg lurer på. Hvorfor står kryssrpoduktet mellom to vektorer alltid vinkelrett på de to originale?
Da jeg først lærte om dette aksepterte jeg det bare, men nå vil jeg skjønne hvorfor det er slik.

Takk på forhånd.

[Vektormannen]

Dette kommer faktisk litt an på hvordan man ser på det, eller rettere sagt hvordan man definerer vektorproduktet. Det vanlige og mest generelle er at man definerer vektorproduktet som at det skal være vektoren kalt [tex]\vec{a} \times \vec{b}[/tex] som 1) står vinkelrett på [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec b[/tex], 2) har retning gitt ved høyrehåndsregelen og 3) lengde gitt ved arealet til parallelogrammet utspent av [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex]. I denne definisjonen er det altså gitt som en definerende egenskap at kryssproduktet skal være vinkelrett på vektorene. Det kan altså ikke bevises, det er simpelthen et krav for at en vektor skal være kryssproduktet av to andre vektorer. Fra denne definisjonen kan man utlede den vanlige regneformelen for kryssproduktet, som man enten uttrykker ved hjelp av determinanter eller ved en direkte formel:

[tex](a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2) = (b_1 c_2, c_1 a_2, a_1b_2) - (c_1 b_2, a_1 c_2, b_1 a_2)[/tex]

Se her for en mer utfyllende forklaring om denne utledningen.

Den andre måten er å ta denne formelen som definisjon av vektorproduktet, men det er en definisjon jeg har sett lite. Hvis vi gjør det, må vi vise at kryssproduktet står vinkelrett på vektorene. Dette kan du jo prøve på selv; bruk at to vektorer er vinkelrette dersom skalarproduktet er 0. Hva blir skalarproduktet av [tex]\vec{a} \times \vec{b}[/tex] med henholdsvis [tex]\vec{a}[/tex] og [tex]\vec{b}[/tex] her, når vi bruker formelen som definisjon?