Hei har problemer med en oppgave:
Bestem konvergensområdet for den geometriske rekka med første ledd a1 = X-6 og andre ledd a2 = X
Kan noen vise meg fremgangsmåten for denne?
Konvergernsområder for geometriske rekker
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
En uendelig geometrisk rekke er på formen [tex]a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n+\cdots[/tex] og konvergerer
hvis [tex]|r|<1[/tex] (gitt at [tex]a\neq 0[/tex]).
I oppgaven har vi at [tex]a_1=x-6[/tex] og [tex]a_2=x[/tex]. Generelt for en geometrisk rekke er [tex]r=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/tex]
og i dette tilfelle kan vi da bruke [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{x}{x-6}[/tex].
Konvergensområdet består da av de [tex]x[/tex] slik at [tex]|r|=|\frac{x}{x-6}|<1[/tex]. For å unngå absoluttverditegnet kan
vi heller løse ulikheten [tex](\frac{x}{x-6})^2<1[/tex]. Det får være opp til deg å løse denne!
Skulle du ikke komme helt i mål er det bare å spørre.
hvis [tex]|r|<1[/tex] (gitt at [tex]a\neq 0[/tex]).
I oppgaven har vi at [tex]a_1=x-6[/tex] og [tex]a_2=x[/tex]. Generelt for en geometrisk rekke er [tex]r=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/tex]
og i dette tilfelle kan vi da bruke [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{x}{x-6}[/tex].
Konvergensområdet består da av de [tex]x[/tex] slik at [tex]|r|=|\frac{x}{x-6}|<1[/tex]. For å unngå absoluttverditegnet kan
vi heller løse ulikheten [tex](\frac{x}{x-6})^2<1[/tex]. Det får være opp til deg å løse denne!
Skulle du ikke komme helt i mål er det bare å spørre.
-
Mathiassen
Ja, kom meg til den ulikheten men satt helt fast der. Skulle kanskje skrevet hvor langt i oppgaven jeg kom meg, men kunne du gjort meg den bjørne tjenesten å gå igjennom hvordan man løser den? Takk for svar!Brahmagupta wrote:En uendelig geometrisk rekke er på formen [tex]a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n+\cdots[/tex] og konvergerer
hvis [tex]|r|<1[/tex] (gitt at [tex]a\neq 0[/tex]).
I oppgaven har vi at [tex]a_1=x-6[/tex] og [tex]a_2=x[/tex]. Generelt for en geometrisk rekke er [tex]r=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/tex]
og i dette tilfelle kan vi da bruke [tex]r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{x}{x-6}[/tex].
Konvergensområdet består da av de [tex]x[/tex] slik at [tex]|r|=|\frac{x}{x-6}|<1[/tex]. For å unngå absoluttverditegnet kan
vi heller løse ulikheten [tex](\frac{x}{x-6})^2<1[/tex]. Det får være opp til deg å løse denne!
Skulle du ikke komme helt i mål er det bare å spørre.
-
Brahmagupta
- Guru
- Posts: 628
- Joined: 06/08-2011 01:56
Vi ganger først begge sider av ulikheten med [tex](x-6)^2[/tex], merk at dette er lovlig siden uttrykket er positivt
for alle x (vi kan se bort ifra [tex]x=6[/tex] siden her er ikke ulikheten definert i utgangspunktet), og får:
[tex]x^2<(x-6)^2=x^2-12x+36[/tex]
og dermed
[tex]12x<36\Rightarrow x<3[/tex]
for alle x (vi kan se bort ifra [tex]x=6[/tex] siden her er ikke ulikheten definert i utgangspunktet), og får:
[tex]x^2<(x-6)^2=x^2-12x+36[/tex]
og dermed
[tex]12x<36\Rightarrow x<3[/tex]