Kun ett nullpunkt på intervallet

[Aleks855]

Kan noen vurdere om beviset holder?

Ønsker å vise at funksjonen $f(x)=\cos x-x$ har nøyaktig ett nullpunkt på intervallet $[0,\frac{\pi }{4}]$.

Ser ved utregning at $f(0)>0$ og at $f(\frac{\pi }{4})<0$.

Ved skjæringssetningen (og gitt at funksjonen er kontinuerlig på intervallet) betyr dette at funksjonen har MINST ett nullpunkt på intervallet.

Derivasjon gir $f^{\prime }(x)=-(\sin x+1)$ som er negativ på hele intervallet. Dette betyr at $f$ er strengt avtagende på intervallet og kan ha MAKSIMALT ett nullpunkt der.

Vi kan derfor konkludere med at funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt på det aktuelle intervallet.

[Lektorn]

Jeg mener beviset holder.
Endepunktene kan av og til være "tricky" i slike oppgaver men her ser det helt greit ut.

[Aleks855]

Hva mener du med at endepunktene kan være tricky?

[Gustav]

Derivasjon gir $f^{\prime }(x)=-(\sin x+1)$ som er negativ på hele intervallet. Dette betyr at $f$ er strengt avtagende på intervallet og kan ha MAKSIMALT ett nullpunkt der.

Vi kan derfor konkludere med at funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt på det aktuelle intervallet.

Alternativt kunne du sagt følgende:

Siden $f^{\prime }\ne 0$ på $(0,\frac{\pi }{4})$ følger det fra "mean value theorem" at funksjonen ikke kan ha mer enn ett nullpunkt.

[Nebuchadnezzar]

Hva mener du med at endepunktene kan være tricky?

De han mener er nok at om du skal vise at $f$ har minst ett nullpunkt for $x\in [a,b]$
så kan det noen ganger være vanskelig å se at $f(a)>0$ og $f(b)<0$. For eks

$f(x)=\frac{355}{113}x-\pi \sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)$

På intervalet $x\in [-2,1]$. Selvsagt ikke lov å bruke juksulator/kalkulator...

[Lektorn]

Ja noe i den duren.
Litt avhengig av intervallgrensene må du gjerne se på endepunktene separat, noe man ofte glemmer.

[Nebuchadnezzar]

Eller se på et mindre intervall, som lettere kan beregnes.