vector calculus

[janne69]

Jeg skal integrere (x^2+y^2)1/2,mh.p.x men p.ga. integrasjonsgrensene jeg har funnet er det umulig med polarkoordinater, er det mulig å integrere dem uten polarkoordinater?

[Nebuchadnezzar]

Hva er grensene?

$ \hspace{1cm}
\int \sqrt{ x^2 + y^2 }\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{2} x \sqrt{x^2+y^2} + \frac{1}{2} y^2 \log \left( x + \sqrt{x^2+y^2} \right)
$

Via $x = y \tanh u$ eller delvis integrasjon.

[janne69]

-(-3/4y^2+y+1)<=x<=(-3/4y^2+y+1) m.h.p. x og -2/3<=y<=2 m.h.p. y. vil gjerne få den til på en måte jeg ville løst på en eksamen.

[Nebuchadnezzar]

Har du en lenke til det opprinnelige problemet?

[janne69]

Selve oppgaven: find the volume enclosed by the cone x^2 +y^2=z^2 and the plane 2x-y-2=0.
Totaluttrykket jeg får består også av y/2+1 som kan integreres for seg.

Et annet problem er en oppgave der det skal regnes mellom koordinater.
1. 0<=z<=1, -1<=y<=1, -(1-y^2)^1/2<=y<=(1-y^2)^1/2 og funksjonsuttrykket er:(x^2+y^2)^1/2. skal uttrykke det i sylinderkoordinater.
I løsningsforslag står det 0<=r<=1 og 0>=ø<=2pi. jeg antar r bestandig er større enn null. r^2=x^2+y^2. Antar de tenker slik: x=0,y=+-1 gir r^2=1
og tilsvarende for x=+-1 og y=0. jeg skjønner hvordan de kommer frem til at ø=0, ved at y kan være lik 0 og x er ulik 0, men 2pi skjønner jeg ikke hvordan de kommer frem til via formelen arctan(y/x).

2. -(2)^1/2<=y<=(2)^1/2, -(2-y^2)^1/2<=x<=(2-Y^2) og(x^2+y^2)^1/2<=x<=(4-x^2-y^2)^1/2. funksjonsuttrykket er z^2. Skal regnes om til
kulekoordinater. I løsningsforslag står det 0<=ø<=2pi, 0<=phi<=pi og sin(phi)<=p<=2. jeg skjønner hvordan de kommer frem til at ø>=0, men <=2pi skjønner jeg ikke helt
jeg forstår heller ikke hvordan de de regner ut phi og p(rho).
Ser for meg noe sånt hvis(x,y,z) =(+-2,0,0)eller (0,+-2,0) eller (0,0,+-2)så blir P^2 =(+-2)^2 jeg vet ikke om det er riktig fremgangsmåte.
og hvordan de kommer frem til at P>=sin(phi) skjønner jeg ikke. z = pcos(phi).