Lineær transformasjon og standard-matrise

[sayonara]

Hvordan går jeg frem for å finne standardmatrisen til C, når det er en lineær transformasjon i planet, C=[tex]\binom{\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}}{}[/tex] =([tex]\begin{bmatrix} 3\\ 3 \end{bmatrix}[/tex]) , C=[tex]\binom{\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}}{}[/tex] = [tex]\binom{\begin{bmatrix} 0\\ -3 \end{bmatrix}}{}[/tex]

Trenger en god forklaring

[Brahmagupta]

La $v_1=(1,2)^T$, $v_2=(1,-1)^T$, $b_1=(3,3)^T$ og $b_2=(0,-3)^T$. Det er gitt at $C(v_1)=b_1$ og $C(v_2)=b_2$
og vi ønsker å finne standardmatrisen til $C$. Generelt for en lineærtransformasjon, $T$, vil $T(e_i)$ være den i'te
kolonnen i standardmatrisen. I dette tilfellet er $v_1$ og $v_2$ lineært uavhengige, så du kan finne konstanter
$\lambda_1 , \lambda_2$ slik at $\lambda_1v_1+\lambda_2v_2=e_1$. Disse finner du ved å for eksempel radredusere $[v_1\;\; v_2\;\; e_1]$.

Dermed er $C(e_1)=C(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2)=\lambda_1C(v_1)+\lambda_2C(v_2)=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2$
den første kolonnen i standardmatrisen. Du finner den andre kolonnen ved samme fremgangsmåte.

Merk at du kan radredusere $[v_1\;\; v_2\;\; e_1\;\; e_2]$ for å løse for alle konstantene samtidig!