Økonomioppgave, rekker

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Post Reply
fysmatr1

Noe som kunne tatt en titt på denne oppgaven? :)

https://www.dropbox.com/s/9exju3i43zrtr ... 4.pdf?dl=0

Oppgave A er grei; der er svaret 106659 kr. Det er imidlertid oppgave B jeg sliter med. Som dere ser av det nederste bildet, har jeg prøvd å bruke nåverdier, men jeg får ikke rett svar. Er det noen som klarer å se hva jeg kan gjøre annerledes? :)
fysmatr1

For de som ikke går inn på linken; oppgaven er slik:

Ole vil ved begynnelsen av annethvert år sette inn 10 000 kr på en sparekonto. I alt vil han sette inn 8 beløp. Det første sparebeløpet vil han sette inn i 2012, det andre beløpet i 2014, osv.
I denne oppgaven regner du med en rente på 3,5 % per år.
a Hvor mye vil Ole ha på kontoen ved slutten av 2026?

I begynnelsen av 2027 vil Ole ta ut 10 000 kr fra kontoen. Deretter vil han så lenge kontoen tillater det, i begynnelsen av hvert år ta ut et beløp som er 20 % større enn det beløpet han tok ut året før.

b Hvor mye er igjen på sparekontoen like etter at Ole har utført uttaket i begynnelsen av 2031?

:roll:
Nebuchadnezzar
Fibonacci
Fibonacci
Posts: 5648
Joined: 24/05-2009 14:16
Location: NTNU

Noen andre for svare med videregående språk, for jeg husker ikke hvordan en løser denne her.
En enkel metode (tolker bare fysmat navnet at du kan litt matte) er å bruke programmering. Så

En mulig psudokode er som følger

Code: Select all

 function [ aar ] = renter( penger,renter,belop,okning )
aar = 0
uttak = belop*okning^aar 

while penger > uttak
    uttak = belop*okning^aar 
    penger = penger*renter
    
    penger = penger - uttak;
    aar = aar + 1;
end 
Hvor en antar at en tar ut pengene etter den årlige renten har kommet inn.
Men dette betyr i utgangspunktet lite, korrekt syntax for din oppgave ville være noe alla

Code: Select all

renter(106659,1.035,10000,1.20)
Alternativt så kan vi bruke $P(n)$ for å betegne pengene vi har etter $n$ år, da er selvsagt $P(0)=106659$.
Sammenhengen mellom $P(n)$ og $P(n-1)$ (altså året før) kan vi skrive som

$ \hspace{1cm}
P(n) = P(n-1) \cdot 1.035 - 10^4 \cdot 1.20^n \quad \text{eller} \quad
P(n) = \Bigl( P(n-1) - 10^4 \cdot 1.20^n \Bigr) 1.035
$

Alt ettersom han tar ut pengene før eller etter han får de årlige rentene. Hefra er det bare å løse
differenslikningen ovenfor. Dette blir gjort nesten helt likt som differensiallikninger. Evnt bare putte inn det ovenfor inn i wolfram alpha

$ \hspace{1cm}
P(n) = \frac{5519747}{33} \cdot \left( \frac{207}{200} \right)^n- \frac {2000000}{33} \left(\frac56\right)^n
$

Vi ønsker altså å bestemme $\lfloor P(n) = 0 \rfloor$. Ved å løse likningen fås

$ \hspace{1cm}
n = \log\left(\frac{5519747}{2000000}\right) \Big/ \log\left( 1+\frac{11}{69} \right) \approx \log e / \left( 1 + \frac{11}{69} \right) = 6 + \frac{3}{11}
$

Hvor $5519747/2\cdot10^6 \approx e$ ble brukt og at $\log(1+x)\approx x$ for små $x$. Regningen blir helt lik om vi tar renten etterpå.
Her kunne jeg selvsagt vært mye finere på tilnærmingene, men når en likevell runder ned til nærmeste heltatt er dette bortkastet.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Post Reply