Noen andre for svare med videregående språk, for jeg husker ikke hvordan en løser denne her.
En enkel metode (tolker bare fysmat navnet at du kan litt matte) er å bruke programmering. Så
En mulig psudokode er som følger
Code: Select all
function [ aar ] = renter( penger,renter,belop,okning )
aar = 0
uttak = belop*okning^aar
while penger > uttak
uttak = belop*okning^aar
penger = penger*renter
penger = penger - uttak;
aar = aar + 1;
end
Hvor en antar at en tar ut pengene etter den årlige renten har kommet inn.
Men dette betyr i utgangspunktet lite, korrekt syntax for din oppgave ville være noe alla
Alternativt så kan vi bruke $P(n)$ for å betegne pengene vi har etter $n$ år, da er selvsagt $P(0)=106659$.
Sammenhengen mellom $P(n)$ og $P(n-1)$ (altså året før) kan vi skrive som
$ \hspace{1cm}
P(n) = P(n-1) \cdot 1.035 - 10^4 \cdot 1.20^n \quad \text{eller} \quad
P(n) = \Bigl( P(n-1) - 10^4 \cdot 1.20^n \Bigr) 1.035
$
Alt ettersom han tar ut pengene før eller etter han får de årlige rentene. Hefra er det bare å løse
differenslikningen ovenfor. Dette blir gjort nesten helt likt som differensiallikninger. Evnt bare putte inn det ovenfor inn i wolfram alpha
$ \hspace{1cm}
P(n) = \frac{5519747}{33} \cdot \left( \frac{207}{200} \right)^n- \frac {2000000}{33} \left(\frac56\right)^n
$
Vi ønsker altså å bestemme $\lfloor P(n) = 0 \rfloor$. Ved å løse likningen fås
$ \hspace{1cm}
n = \log\left(\frac{5519747}{2000000}\right) \Big/ \log\left( 1+\frac{11}{69} \right) \approx \log e / \left( 1 + \frac{11}{69} \right) = 6 + \frac{3}{11}
$
Hvor $5519747/2\cdot10^6 \approx e$ ble brukt og at $\log(1+x)\approx x$ for små $x$. Regningen blir helt lik om vi tar renten etterpå.
Her kunne jeg selvsagt vært mye finere på tilnærmingene, men når en likevell runder ned til nærmeste heltatt er dette bortkastet.
