Bevis summen av de n første oddetallene

[Alise]

Hei!

Jeg har brukt Polyas problemløsningsmetode, og funnet at summen av de n første oddetallene blir n opphøyd i andre. Hvordan kan jeg bevise dette ?

[stensrud]

Hei!

Jeg har brukt Polyas problemløsningsmetode, og funnet at summen av de n første oddetallene blir n opphøyd i andre. Hvordan kan jeg bevise dette ?

Du tester hypotesen din for $n=3$, $n=4$ og kanskje et tilfelle til eller to, og ser at den stemmer (Det gjør den!). Ta dermed utgangspunkt i at du har summert de $n$ første oddetallene, og at du skal legge til et nytt. Hvordan kan dette neste oddetallet uttrykkes med $n$? Etter du har gjort dette, hvordan kan det neste oddetallet etter dette igjen uttrykkes med $n$, og hva skjer når du adderer det til det du allerede har?

Leser du "How to Solve It" forresten?

[Alise]

Hei!

Jeg har brukt Polyas problemløsningsmetode, og funnet at summen av de n første oddetallene blir n opphøyd i andre. Hvordan kan jeg bevise dette ?

Du tester hypotesen din for $n=3$, $n=4$ og kanskje et tilfelle til eller to, og ser at den stemmer (Det gjør den!). Ta dermed utgangspunkt i at du har summert de $n$ første oddetallene, og at du skal legge til et nytt. Hvordan kan dette neste oddetallet uttrykkes med $n$? Etter du har gjort dette, hvordan kan det neste oddetallet etter dette igjen uttrykkes med $n$, og hva skjer når du adderer det til det du allerede har?

Leser du "How to Solve It" forresten?

Hei!
Takk for svar. Har ikke hørt om "How to Solve it" . Kan den anbefales ?

[stensrud]

Boka er gir en kort og grei innføring i hvordan matematiske problemer kan angripes, og jeg vil absolutt anbefale den hvis du kan matten din og nettopp har startet med problemløsing. For viderekomne problemløsere kan veldig mye av innholdet bli for elementært og åpenbart til at det lønner seg å bruke tiden sin på det fremfor noe annet, men likevel så tror jeg at de aller fleste vil få noe utbytte av lesingen. Du vil sannsynligvis ikke lære noe særlig ny matematikk hvis du velger å lese den, men du vil få et oppslagsverk for nyttige metoder og begreper som du kan dra nytte av. Den er skrevet av Polya selv. Link for mer info: http://press.princeton.edu/titles/669.html.

Hvordan gikk bevisføringen?

[Alise]

Boka er gir en kort og grei innføring i hvordan matematiske problemer kan angripes, og jeg vil absolutt anbefale den hvis du kan matten din og nettopp har startet med problemløsing. For viderekomne problemløsere kan veldig mye av innholdet bli for elementært og åpenbart til at det lønner seg å bruke tiden sin på det fremfor noe annet, men likevel så tror jeg at de aller fleste vil få noe utbytte av lesingen. Du vil sannsynligvis ikke lære noe særlig ny matematikk hvis du velger å lese den, men du vil få et oppslagsverk for nyttige metoder og begreper som du kan dra nytte av. Den er skrevet av Polya selv. Link for mer info: http://press.princeton.edu/titles/669.html.

Hvordan gikk bevisføringen?

Hei!
Jeg skal studere linken din nærmere. Jeg skal ha muntlig eksamen i matematikk for lærere i februar og må der kunne bevisføre regningen min. Den med oddetallene vet jeg flere har kommet opp i før. Det jeg synes er vanskelig er å vite hva som er bevis godt nok.

[Brahmagupta]

Induksjon er nok den letteste metoden å bruke. En alternativ metode er å utnytte at $1+2+3+\cdots+n=\frac12 n(n+1)$.
Tanken er at summen av de $n$ første oddetallene tilsvarer summen av alle tallene opp til $2n$ minus summen av de $n$
første partallene. Hvor vi kan finne begge disse summen ved hjelp av formelen over.

$\sum_{i=1}^{2n}{i}=\sum_{i=1}^{n}{2i}+\sum_{i=1}^n{(2i-1)}$ så

$\sum_{j=1}^n{(2j-1)}=\sum_{i=1}^{2n}{i}-\sum_{i=1}^n{2i}=\frac12 2n(2n+1) - 2\sum_{i=1}^n{i}=n(2n+1)-2\frac12 n(n+1)=n^2 $

[stensrud]

Induksjon er nok den letteste metoden å bruke. En alternativ metode er å utnytte at $1+2+3+\cdots+n=\frac12 n(n+1)$.
Tanken er at summen av de $n$ første oddetallene tilsvarer summen av alle tallene opp til $2n$ minus summen av de $n$
første partallene. Hvor vi kan finne begge disse summen ved hjelp av formelen over.

$\sum_{i=1}^{2n}{i}=\sum_{i=1}^{n}{2i}+\sum_{i=1}^n{(2i-1)}$ så

$\sum_{j=1}^n{(2j-1)}=\sum_{i=1}^{2n}{i}-\sum_{i=1}^n{2i}=\frac12 2n(2n+1) - 2\sum_{i=1}^n{i}=n(2n+1)-2\frac12 n(n+1)=n^2 $

Fortsatt litt usikker på induksjonsbevisene, holder dette?

Det $n$-te oddetallet kan skrives som $2(n-1)+1 = 2n-1$. Vi observerer at hypotesen stemmer for lave $n$-verdier, og antar derfor at den stemmer for alle verdier av $n$. Si at vi har summert de $n$ første oddetallene, slik at vi har $n^2$. Summen av de $n+1$ første oddetallene blir dermed summen av de $n$ første $ = n^2 $, pluss det $n+1$-te oddetallet, altså $n^2+2n+2-1 = (n+1)^2$. Mistenker at dette burde holde, men kan eventuelt legge til neste ledd og få $(n+1)^2+2n+4-1= (n+2)^2$.

[Alise]

Hei!

Tusen takk for masse flotte svar. Skal nok klare å lære meg noe av dette til eksamen !

Hilsen Alise

[stensrud]

Hei!

Tusen takk for masse flotte svar. Skal nok klare å lære meg noe av dette til eksamen !

Hilsen Alise

Masse lykke til på eksamen!

[Brahmagupta]

Det $n$-te oddetallet kan skrives som $2(n-1)+1 = 2n-1$. Vi observerer at hypotesen stemmer for lave $n$-verdier, og antar derfor at den stemmer for alle verdier av $n$. Si at vi har summert de $n$ første oddetallene, slik at vi har $n^2$. Summen av de $n+1$ første oddetallene blir dermed summen av de $n$ første $ = n^2 $, pluss det $n+1$-te oddetallet, altså $n^2+2n+2-1 = (n+1)^2$. Mistenker at dette burde holde, men kan eventuelt legge til neste ledd og få $(n+1)^2+2n+4-1= (n+2)^2$.

Det holder nesten. For det første kan du ikke skrive at du antar at hypotesen holder for alle verdier av $n$.
Antagelsen blir at hypotesen holder for en eller annen $n=k$. Tanken bak argumentet er dog helt riktig, men du kan
nok formalisere det litt! Et formelt argument ville sett omtrent slik ut:

Vi ønsker å vise at summen av de $n$ første oddetallene er lik $n^2$, altså at $\sum_{i=1}^n{(2i-1)}=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.
Vi benytter matematisk induksjon.

Basistilfellet:
For $n=1$ har vi at $\sum_{i=1}^1(2i-1)=1=1^2$, så dette stemmer.

Induksjonssteget:
Anta nå hypotesen stemmer for $n=k$, altså $\sum_{i=1}^k(2i-1)=1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$. Vi har da at
$\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=1+3+\cdots+(2k-1)+(2k+1)=(1+3+\cdots+(2k-1))+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2$

Dette vil si at hypotesen stemmer for $n=k+1$ og dermed for alle naturlige tall $n$ ved induksjon.