Cosinus R2 oppg. 8.113

[Malinsa]

Hei! Trenger hjelp til denne oppgaven:

Vis at
[tex]y=e^{-x}+\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)[/tex]
er en løsning på differensiallikningen
[tex]y'+y=\cos x[/tex]

Jeg klarer fint å regne det ut, men jeg får ikke riktig svar! Hadde gjerne håpet på at noen kunne opplyse meg

[Aleks855]

Finn $y'$ og sett inn for $y$ og $y'$ i difflikninga.

For øvrig, hva mener du med at du får til å regne det ut, men ikke får riktig svar?

[Malinsa]

For øvrig, hva mener du med at du får til å regne det ut, men ikke får riktig svar?

Jeg regner det ut på en eller annen måte, men jeg får ikke svaret som er oppgitt i oppgaven

[tex]y'+y=\cos x[/tex]
[tex]y'\cdot e^{x}+y\cdot e^{x}=\cos x\cdot e^{x}[/tex]
[tex]\int (y\cdot e^{x})'=\int (\cos x\cdot e^{x})dx[/tex] (her bruker jeg delvis integral og velger u som cos x og v' som e^x)
[tex]y\cdot e^{x}=\cos x\cdot e^{x}-\int (-\sin x\cdot e^{x})dx[/tex]
[tex]y\cdot e^{x}=\cos x\cdot e^{x}-\cos x\cdot e^{x}+C[/tex]
[tex]y\cdot e^{x}=C[/tex]

Det var så langt jeg kom før jeg innså at jeg gjorde noe feil. Er jeg helt på villspor her?

[MatIsa]

[tex]y\cdot e^{x}=\cos x\cdot e^{x}-\int (-\sin x\cdot e^{x})dx[/tex]
[tex]y\cdot e^{x}=\cos x\cdot e^{x}-\cos x\cdot e^{x}+C[/tex]

Her ligger feilen:
$\int \left(-\sin x \cdot e^x\right)~\text{d}x = \frac12 e^x\left(\cos x - \sin x\right) + C$, ikke $\cos{x} \cdot e^x$

Du har fått oppgitt hva $y$ er. Det du må gjøre er som nevnt å finne $y'$ (deriver $y$) og sette det inn i ligningen $y'+y =\cos x$