gcd-brøk

[stensrud]

Heisann, en oppgave jeg lurer litt på her:

Bestem alle $ n\in\mathbb{Z} $ slik at $ \frac{3n^2+3n+9}{3n+2} \in \mathbb{Z}$.

Finner $ \gcd ((3n^2+2n+9),(3n+2)) $ ved hjelp av Euklid´s algoritme:

$ (3n^2+3n+9)=n(3n+2)+(n+9) $

$ (3n+2)=3(n+9)+(-25) $

$ (n+9)=m(-25) $

hvor $m$ er hva som helst, avhengig av $n$
Jeg kommer vel ikke lengre her?

$ \gcd((n+9),m(-25)) $ kan aldri være høyere enn $ 25 $, siden det alltid må være divisor i $ -25 $. Dermed er $ \gcd((n+9),m(-25))=\gcd ((3n^2+2n+9),(3n+2))=1 $, $5$ eller $ 25 $. Kan jeg si dette med sikkerhet? Nevneren i brøken må alltid være $ \pm \gcd ((3n^2+2n+9),(3n+2)) $, hvis ikke vil ikke divisjonen gå opp. Undersøker mulighetene:

$ \gcd ((3n^2+2n+9),(3n+2))=25 $

$ \Downarrow $

$ 3n+2=\pm 25\implies 3n=23\lor \mathbf{3n=-27} $

$ \gcd ((3n^2+2n+9),(3n+2))=5 $

$ \Downarrow $

$ 3n+2=\pm 5\implies \mathbf{3n=3}\lor 3n=-7 $

og finner ut at $ 3n=-27\lor 3n=3\implies n=-9\lor n=1 $. Dette gir to tilfeller som viser seg å være løsninger:

$ \frac{3(-9)^2+3(-9)+9}{3(-9)+2}=-9 $

$ \frac{3(1)^2+3(1)+9}{3(1)+2}=3 $

Dermed er $ n=-9 $ og $ n=1 $ de eneste løsningene.

[MatIsa]

Hva med å utføre polynomdivisjonen $(3n^2+3n+9):3n+2$? Da får du et restledd på formen $\frac{c}{an+b}$, og det er lett å se hvilke $n$ gjør dette til et heltall

[stensrud]

Hva med å utføre polynomdivisjonen $(3n^2+3n+9):3n+2$? Da får du et restledd på formen $\frac{c}{an+b}$, og det er lett å se hvilke $n$ gjør dette til et heltall

Oppgaven skulle være en øving i å bruke GCD, men man kan jo selvfølgelig gjøre som du foreslår:

$(3n^2+3n+9):3n+2=n+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{3}}{3n+2}=n+\frac{1}{3}+\frac{25}{9n+6}$
$\implies \frac{25}{9n+6}=\frac{2}{3} \lor \frac{25}{9n+6}=-\frac{1}{3} $

Hvor $n=1$ og $n=-9$ begge er heltallige løsninger.