Hei!
Prøver å lære meg integrasjon, men det er en eller annen regel jeg ikke greier å få tak i.
Prøver å løse denne:
[tex]\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/tex]
Er det brukt substitusjon for å løse denne oppgaven? Har prøvd å dele den opp og tenke derivasjon baklengs, men får det ikke til. Finnes det en generell regel som sier hvordan dette skal gjøres? Forresten skal svaret bli [tex]\ln(x^2+1)+C[/tex]
Integral
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hvis du "tenker baklengs" så håper jeg du ser at derivasjon av løsningen gir integranden?
Problemet med integranden her er at den ikke er lineær ($a x + b$) fordi du har $x^2$ i nevneren, og dessuten har du $x$ i telleren. Med en konstant i telleren og lineær nevner kunne du brukt regelen for integralet av $\frac {1}{x}$ direkte (mer eller mindre).
Metoden du må bruke her heter substitusjon eller variabelbytte, dvs. du må innføre en ny variabel i stedet for $x$ f.eks. $u$. Det krever erfaring og trening for å se hva du skal bytte, men det går gjerne helt fint å prøve seg frem også.
I oppgaven din kan det være lurt å sette $u = x^2 + 1$ og da må du huske å erstatte $dx$ med $du$. Dette gjøres ved å derivere $u$ med hensyn på $x$ som gir: $\frac {du}{dx} = 2x$.
Når du har byttet ut alt som har med $x$ å gjøre til $u$ skal du få et integral som kan løses. Når dette er løst må du huske å bytte tilbake slik at du får svaret uttrykt med $x$.
Ser du metoden og løsningen i denne oppgaven?
Problemet med integranden her er at den ikke er lineær ($a x + b$) fordi du har $x^2$ i nevneren, og dessuten har du $x$ i telleren. Med en konstant i telleren og lineær nevner kunne du brukt regelen for integralet av $\frac {1}{x}$ direkte (mer eller mindre).
Metoden du må bruke her heter substitusjon eller variabelbytte, dvs. du må innføre en ny variabel i stedet for $x$ f.eks. $u$. Det krever erfaring og trening for å se hva du skal bytte, men det går gjerne helt fint å prøve seg frem også.
I oppgaven din kan det være lurt å sette $u = x^2 + 1$ og da må du huske å erstatte $dx$ med $du$. Dette gjøres ved å derivere $u$ med hensyn på $x$ som gir: $\frac {du}{dx} = 2x$.
Når du har byttet ut alt som har med $x$ å gjøre til $u$ skal du få et integral som kan løses. Når dette er løst må du huske å bytte tilbake slik at du får svaret uttrykt med $x$.
Ser du metoden og løsningen i denne oppgaven?
Tusen takk for godt svar!
Skal dx/du ses på som et ordentlig ledd i stykket? Jeg har sett på den som en litt unødvendig "attpåklatt" som ikke har den helt store betydningen.
Men skal x'en i telleren også byttes ut?
Jeg begynte sånn: [tex]\int \frac{2x}{u}du[/tex], men blir fryktelig usikker på fortsettelsen! Jeg ser ikke helt hvordan jeg bruke den deriverte av u som er 2x!
Skal dx/du ses på som et ordentlig ledd i stykket? Jeg har sett på den som en litt unødvendig "attpåklatt" som ikke har den helt store betydningen.
Men skal x'en i telleren også byttes ut?
Jeg begynte sånn: [tex]\int \frac{2x}{u}du[/tex], men blir fryktelig usikker på fortsettelsen! Jeg ser ikke helt hvordan jeg bruke den deriverte av u som er 2x!
Hint: Hvis $u = x^2+1$, kan du bruke dette til å skrive $2x$ som en funksjon av $u$ i stedet?
Nå fant jeg svaret til en liknende oppgave et annet sted, og har fått tak i løsningen! 
(tror jeg)
[tex]\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/tex]
[tex]u= x^2+1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx}=2x[/tex]
[tex]\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|x^2+1|+C[/tex]
Men finnes det noen enkel og grei forklaring på hvorfor 2x i telleren kan bli borte? Akkurat det skurrer litt for meg...
(tror jeg)[tex]\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/tex]
[tex]u= x^2+1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx}=2x[/tex]
[tex]\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|x^2+1|+C[/tex]
Men finnes det noen enkel og grei forklaring på hvorfor 2x i telleren kan bli borte? Akkurat det skurrer litt for meg...
$\frac{du}{dx}=2x$ gir at $dx = du/2x$ så den deles vekk når du erstatter dx.