matematikk.net

Hei!
Prøver å lære meg integrasjon, men det er en eller annen regel jeg ikke greier å få tak i.
Prøver å løse denne:
[tex]\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/tex]

Er det brukt substitusjon for å løse denne oppgaven? Har prøvd å dele den opp og tenke derivasjon baklengs, men får det ikke til. Finnes det en generell regel som sier hvordan dette skal gjøres? Forresten skal svaret bli [tex]\ln(x^2+1)+C[/tex]

Hvis du "tenker baklengs" så håper jeg du ser at derivasjon av løsningen gir integranden?

Problemet med integranden her er at den ikke er lineær ($a x + b$) fordi du har $x^2$ i nevneren, og dessuten har du $x$ i telleren. Med en konstant i telleren og lineær nevner kunne du brukt regelen for integralet av $\frac {1}{x}$ direkte (mer eller mindre).

Metoden du må bruke her heter substitusjon eller variabelbytte, dvs. du må innføre en ny variabel i stedet for $x$ f.eks. $u$. Det krever erfaring og trening for å se hva du skal bytte, men det går gjerne helt fint å prøve seg frem også.

I oppgaven din kan det være lurt å sette $u = x^2 + 1$ og da må du huske å erstatte $dx$ med $du$. Dette gjøres ved å derivere $u$ med hensyn på $x$ som gir: $\frac {du}{dx} = 2x$.
Når du har byttet ut alt som har med $x$ å gjøre til $u$ skal du få et integral som kan løses. Når dette er løst må du huske å bytte tilbake slik at du får svaret uttrykt med $x$.

Ser du metoden og løsningen i denne oppgaven?

Tusen takk for godt svar!

Skal dx/du ses på som et ordentlig ledd i stykket? Jeg har sett på den som en litt unødvendig "attpåklatt" som ikke har den helt store betydningen.

Men skal x'en i telleren også byttes ut?
Jeg begynte sånn: [tex]\int \frac{2x}{u}du[/tex], men blir fryktelig usikker på fortsettelsen! Jeg ser ikke helt hvordan jeg bruke den deriverte av u som er 2x!

Hint: Hvis $u = x^2+1$, kan du bruke dette til å skrive $2x$ som en funksjon av $u$ i stedet?

Hmmm... antar at det går siden du skriver det, men ser ikke helt hvordan det blir!
Lurte på om det var å ta kvadratroten av u og gange med 2, men det blir jo ikke helt rett. (Hvis jeg ikke bare kan skrive at det er den deriverte av u).

Nå fant jeg svaret til en liknende oppgave et annet sted, og har fått tak i løsningen! (tror jeg)

[tex]\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/tex]

[tex]u= x^2+1 \Leftrightarrow \frac{du}{dx}=2x[/tex]

[tex]\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|x^2+1|+C[/tex]

Men finnes det noen enkel og grei forklaring på hvorfor 2x i telleren kan bli borte? Akkurat det skurrer litt for meg...

$\frac{du}{dx}=2x$ gir at $dx = du/2x$ så den deles vekk når du erstatter dx.