Determinanter

[pi-ra]

Man får oppgitt i oppgaven at [tex]\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} = 7[/tex]

Basert på dette ber oppgaven meg finne ut hva [tex]\begin{vmatrix} a+d & b+e & c+f\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}[/tex] blir.

I fasiten står det at [tex]\begin{vmatrix} a+d & b+e & c+f\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} =[/tex] [tex]\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} = 7[/tex], altså den originale determinanten.
Hvorfor det? Ser ikke hvilken regel som er brukt her.

[Brahmagupta]

Regelen som benyttes er at en determinant ikke forandrer verdi når et multiplum av en rad blir lagt til en annen. Har du vært
borte i dette?

Alternativt ved utregning har vi at

$\begin{vmatrix} a+d & b+e & c+ f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} =(a+d)\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} -
(b+e)\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + (c+f)\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} \\ =
(a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix})
+(d\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - e\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + f\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}) \\
=\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d & e & f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} =
7 + \begin{vmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ d & e & f\end{vmatrix} \\ = 7 +
g\begin{vmatrix} e & f \\ e & f \end{vmatrix} - h\begin{vmatrix} d & f \\ d & f \end{vmatrix} + i\begin{vmatrix} e & f \\ e & f \end{vmatrix}=7+0+0+0=7 $

Teknikken brukt her tar deg et stykke på vei i et induksjonsbevis for det generelle resultatet nevnt øverst. Det er allikevel noe annet forarbeid som
også må gjøres.