matematikk.net

Man får oppgitt i oppgaven at [tex]\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} = 7[/tex]

Basert på dette ber oppgaven meg finne ut hva [tex]\begin{vmatrix} a+d & b+e & c+f\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}[/tex] blir.

I fasiten står det at [tex]\begin{vmatrix} a+d & b+e & c+f\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} =[/tex] [tex]\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} = 7[/tex], altså den originale determinanten.
Hvorfor det? Ser ikke hvilken regel som er brukt her.

Regelen som benyttes er at en determinant ikke forandrer verdi når et multiplum av en rad blir lagt til en annen. Har du vært
borte i dette?

Alternativt ved utregning har vi at

$\begin{vmatrix} a+d & b+e & c+ f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} =(a+d)\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} -
(b+e)\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + (c+f)\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} \\ =
(a\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix})
+(d\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - e\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + f\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}) \\
=\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d & e & f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} =
7 + \begin{vmatrix} g & h & i \\ d & e & f \\ d & e & f\end{vmatrix} \\ = 7 +
g\begin{vmatrix} e & f \\ e & f \end{vmatrix} - h\begin{vmatrix} d & f \\ d & f \end{vmatrix} + i\begin{vmatrix} e & f \\ e & f \end{vmatrix}=7+0+0+0=7 $

Teknikken brukt her tar deg et stykke på vei i et induksjonsbevis for det generelle resultatet nevnt øverst. Det er allikevel noe annet forarbeid som
også må gjøres.