Vis at oppgave romgeometri R2

[hallapaadeg]

Hei. Oppgaven jeg har er slik:

Vis at to plan med normalvektorer

[tex]\vec n_\alpha[/tex] og [tex]\vec n_\beta[/tex]

er parallelle hvis og bare hvis

[tex]\vec n_\alpha[/tex] x [tex]\vec n_\beta = \vec 0[/tex]

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal vise dette på en fin måte. Lurer på om noen kan gi meg et hint i riktig retning.

[Lektorn]

Mulig jeg misforstår spørsmålet ditt men hvis du har stadfestet kravet for at 2 plan er paraparallelle og kjenner begge normalvektorene, kan du bare regne ut vektorproduktet og se at det blir nullvektor.

[skf95]

Hva er definisjonen på kryssprodukt? Og hva skal til for at et produkt skal være lik null? Og hvilke av faktorene i kryssproduktet kan være lik null?

[Lektorn]

Vektor- eller kryssproduktet av 2 vektorer er en ny vektor som står ortogonalt på begge vektorene. Retningen kommer frem av høyrehåndsregelen, mens lengden er lik arealet av parallellogrammet spent ut av de to vektorene.

Hvis de to vektorene er parallelle vil det ikke spennes ut noe parallellogram og vektorproduktet må være nullvektor.

[skf95]

Kan man ikke bare si noe så enkelt som: Hvis vi antar at vektorene ikke er nullvektoren, vet vi at de har en positiv lengde. Og skal produktet [tex]\left | \underset{v_1}{\rightarrow} \right | \cdot \left | \underset{v_2}{\rightarrow} \right | \cdot \sin \alpha[/tex] være lik null, må [tex]\sin \alpha =0[/tex]. Dette medfører at [tex]\alpha[/tex] er enten [tex]0^{\circ}[/tex] eller [tex]180^{\circ}[/tex], altså parallelle.

[Lektorn]

Jo det er en annen måte å si akkurat det samme på.

Her bruker du knytningen mellom lengden av skalarproduktet og arealet av parallelogrammet vha. arealsetningen for en trekant.