Omdreiningslegeme

[Guest]

Hei,

Her er en oppgave (med fasit) jeg skulle hatt litt hjelp med:

Karl skal lage en badestamp som skal fylles med vann. Han bestemmer seg for å bruke funksjonen f(X)=x^4 som utgangspunkt for den innvendige formen til badestampen. Ved å rotere funksjonen f(x) om y-aksen får han den formen han ønsker. Vi lar (den innvendige) høyden til stampen være 1 meter.

a) La D være området begrenset av f(x)= x^4, y=1 og y-aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet som fremkommer ved å dreie D om y-aksen. Her måles både x og y i meter.

Mitt forslag:
Ok, her ser jeg at jeg skal regne integralet fra 0 til 1, og at jeg bør bruke skallmodellen 2pi integralet av x^5 dx = 2pi*(1/6) * x^6

Uansett, så får jeg det bestemte integralet til å bli (1/3)pi, mens fasiten sier V= 2*pi/3 m^3 = 2 094 liter

b) Karl bestemmer seg for å bruke hageslangen til å fylle opp stampen med vann. Vi antar at strømningshastigheten for vannet i hageslangen er konstant 9 liter per minutt (Husk: 9 liter/min = 0,009 m^3/min). Hvis dybden av vannet til enhver tid er h, og tiden måles i minutter, hvor mye forandrer h seg (altså dh/dt) i det øyeblikk h=0,5 meter?
Hvor lang tid tar det å fylle opp hele badestampen?

Fasit:dh/dt= 4,05 mm/min og t= 2094/9 = 232,71 min = 3 h 52 min 43 s

Noen som kan vise meg hvordan en kommer fram til disse to fasitene?

[zell]

a)

Radius av sirkelen din er gitt ved f(y), ikke f(x).

[tex]V = \int_0^1\pi \left(f(y)\right)^2\ \mathrm{d}y = \int_0^1\pi\sqrt{y}\ \mathrm{d}y[/tex]

[Janhaa]

b)
i)
[tex]\dot V=dV/dt=\pi*h^{0,5}*(dh/dt)=0,009\,\,m^3/min[/tex]

[tex]\dot h=dh/dt=0,009/(\pi*0,5^{0,5}) = 0,00405\,\,m/min[/tex]
ii)
[tex]t=V/\dot V=2000\pi/27\,\,min[/tex]