Differensiallikninger (tekstoppgaver)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

Heisann,

Jeg går rett på sak her. Det er en enkel modell for folketall og jeg har funnet likningen for endring i folketallet:

[tex]y'=0.01y+A[/tex]

Inititalbetingelse [tex]y(0)=10000[/tex]

Konstanten A skal tilsvare netto innflytting, altså innflytting - utflytting. I neste deloppgave er det 120 mer personer som flytter ut enn inn, altså [tex]A=-120[/tex].

[tex]y'=0.01y-120[/tex]

Jeg har nå lenge forsøkt å løse denne som en separabel differensiallikning. Skriver den om slik:

[tex]\frac{1}{0.01y-120}y'=1[/tex]

Og dette stemmer vel?

Integrerer begge sider og får da

[tex]100ln|0.01y-120|=t+C[/tex]

[tex]ln|0.01y-120|=\frac{t+C}{100}[/tex]

[tex]|0.01y-120|=e^\frac{t+C}{100}[/tex]

So far, so good? Eller?

Uansett, jeg greier ikke komme helt i mål videre her. Mistenker at jeg roter med et eller annet når jeg løser opp absoluttegnet. Noen som har lyst å vise meg i mål? :)

Forøvrig endte jeg opp med å løse likningen på en måte som kanskje er enklere. Dvs, jeg løste den som en inhomogen differensiallikning og fikk da [tex]y_{h}=Ae^{0.01t}[/tex] for den tilsvarende homogene.

Gjetter [tex]y_{p}=C[/tex]

Setter inn i likningen og bestemmer da [tex]C=12 000[/tex]

Da er [tex]y=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Ved initialbetingelsen bestemmes konstanten A til -2000 og endelig løsning er:

[tex]y(t)=-2000e^{0.01t}+12000[/tex]

Og dette skal være rett. Men det jeg da skulle hatt hjelp til er å løse den ferdig med første metode. :)
Lektorn
Riemann
Riemann
Posts: 1630
Joined: 26/05-2014 22:16

Har du lært å løse DL med integrerende faktor? Denne likningen er nok enklere med den metoden.
auduns

Hvordan du løser opp absolutt tegnet skal ikke ha noe og si, siden normalliseringskonstanten tar seg av det.

Men siden du start i y(0)=10000, er 0.01y(0)<120, så kan ta utgangspunkt i dette.

[tex]|0.01y-120|=120-0.01y[/tex]

[tex]y(t)=12000-e^{\frac{t+C}{100}}=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Som er det samme som det du har, A kommer fra konstanten C i eksponenten.
Johan Nes
Fermat
Fermat
Posts: 705
Joined: 23/01-2012 12:56

auduns wrote:Hvordan du løser opp absolutt tegnet skal ikke ha noe og si, siden normalliseringskonstanten tar seg av det.

Men siden du start i y(0)=10000, er 0.01y(0)<120, så kan ta utgangspunkt i dette.

[tex]|0.01y-120|=120-0.01y[/tex]

[tex]y(t)=12000-e^{\frac{t+C}{100}}=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Som er det samme som det du har, A kommer fra konstanten C i eksponenten.
Takker og bukker. :)

Men bare "drar" du ned C, fjerner det negative fortegnet på e og kaller konstanten for A (eller whatever)? Det er denne prosedyren jeg ikke forstår 100%. Forstår 90% kanskje. :P
Post Reply