Differensiallikninger (tekstoppgaver)

[Johan Nes]

Heisann,

Jeg går rett på sak her. Det er en enkel modell for folketall og jeg har funnet likningen for endring i folketallet:

[tex]y'=0.01y+A[/tex]

Inititalbetingelse [tex]y(0)=10000[/tex]

Konstanten A skal tilsvare netto innflytting, altså innflytting - utflytting. I neste deloppgave er det 120 mer personer som flytter ut enn inn, altså [tex]A=-120[/tex].

[tex]y'=0.01y-120[/tex]

Jeg har nå lenge forsøkt å løse denne som en separabel differensiallikning. Skriver den om slik:

[tex]\frac{1}{0.01y-120}y'=1[/tex]

Og dette stemmer vel?

Integrerer begge sider og får da

[tex]100ln|0.01y-120|=t+C[/tex]

[tex]ln|0.01y-120|=\frac{t+C}{100}[/tex]

[tex]|0.01y-120|=e^\frac{t+C}{100}[/tex]

So far, so good? Eller?

Uansett, jeg greier ikke komme helt i mål videre her. Mistenker at jeg roter med et eller annet når jeg løser opp absoluttegnet. Noen som har lyst å vise meg i mål?

Forøvrig endte jeg opp med å løse likningen på en måte som kanskje er enklere. Dvs, jeg løste den som en inhomogen differensiallikning og fikk da [tex]y_{h}=Ae^{0.01t}[/tex] for den tilsvarende homogene.

Gjetter [tex]y_{p}=C[/tex]

Setter inn i likningen og bestemmer da [tex]C=12 000[/tex]

Da er [tex]y=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Ved initialbetingelsen bestemmes konstanten A til -2000 og endelig løsning er:

[tex]y(t)=-2000e^{0.01t}+12000[/tex]

Og dette skal være rett. Men det jeg da skulle hatt hjelp til er å løse den ferdig med første metode.

[Lektorn]

Har du lært å løse DL med integrerende faktor? Denne likningen er nok enklere med den metoden.

[auduns]

Hvordan du løser opp absolutt tegnet skal ikke ha noe og si, siden normalliseringskonstanten tar seg av det.

Men siden du start i y(0)=10000, er 0.01y(0)<120, så kan ta utgangspunkt i dette.

[tex]|0.01y-120|=120-0.01y[/tex]

[tex]y(t)=12000-e^{\frac{t+C}{100}}=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Som er det samme som det du har, A kommer fra konstanten C i eksponenten.

[Johan Nes]

Hvordan du løser opp absolutt tegnet skal ikke ha noe og si, siden normalliseringskonstanten tar seg av det.

Men siden du start i y(0)=10000, er 0.01y(0)<120, så kan ta utgangspunkt i dette.

[tex]|0.01y-120|=120-0.01y[/tex]

[tex]y(t)=12000-e^{\frac{t+C}{100}}=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Som er det samme som det du har, A kommer fra konstanten C i eksponenten.

Takker og bukker.

Men bare "drar" du ned C, fjerner det negative fortegnet på e og kaller konstanten for A (eller whatever)? Det er denne prosedyren jeg ikke forstår 100%. Forstår 90% kanskje.