matematikk.net

Heisann,

Jeg går rett på sak her. Det er en enkel modell for folketall og jeg har funnet likningen for endring i folketallet:

[tex]y'=0.01y+A[/tex]

Inititalbetingelse [tex]y(0)=10000[/tex]

Konstanten A skal tilsvare netto innflytting, altså innflytting - utflytting. I neste deloppgave er det 120 mer personer som flytter ut enn inn, altså [tex]A=-120[/tex].

[tex]y'=0.01y-120[/tex]

Jeg har nå lenge forsøkt å løse denne som en separabel differensiallikning. Skriver den om slik:

[tex]\frac{1}{0.01y-120}y'=1[/tex]

Og dette stemmer vel?

Integrerer begge sider og får da

[tex]100ln|0.01y-120|=t+C[/tex]

[tex]ln|0.01y-120|=\frac{t+C}{100}[/tex]

[tex]|0.01y-120|=e^\frac{t+C}{100}[/tex]

So far, so good? Eller?

Uansett, jeg greier ikke komme helt i mål videre her. Mistenker at jeg roter med et eller annet når jeg løser opp absoluttegnet. Noen som har lyst å vise meg i mål?

Forøvrig endte jeg opp med å løse likningen på en måte som kanskje er enklere. Dvs, jeg løste den som en inhomogen differensiallikning og fikk da [tex]y_{h}=Ae^{0.01t}[/tex] for den tilsvarende homogene.

Gjetter [tex]y_{p}=C[/tex]

Setter inn i likningen og bestemmer da [tex]C=12 000[/tex]

Da er [tex]y=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Ved initialbetingelsen bestemmes konstanten A til -2000 og endelig løsning er:

[tex]y(t)=-2000e^{0.01t}+12000[/tex]

Og dette skal være rett. Men det jeg da skulle hatt hjelp til er å løse den ferdig med første metode.

Har du lært å løse DL med integrerende faktor? Denne likningen er nok enklere med den metoden.

Hvordan du løser opp absolutt tegnet skal ikke ha noe og si, siden normalliseringskonstanten tar seg av det.

Men siden du start i y(0)=10000, er 0.01y(0)<120, så kan ta utgangspunkt i dette.

[tex]|0.01y-120|=120-0.01y[/tex]

[tex]y(t)=12000-e^{\frac{t+C}{100}}=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Som er det samme som det du har, A kommer fra konstanten C i eksponenten.

auduns wrote:Hvordan du løser opp absolutt tegnet skal ikke ha noe og si, siden normalliseringskonstanten tar seg av det.

Men siden du start i y(0)=10000, er 0.01y(0)<120, så kan ta utgangspunkt i dette.

[tex]|0.01y-120|=120-0.01y[/tex]

[tex]y(t)=12000-e^{\frac{t+C}{100}}=Ae^{0.01t}+12000[/tex]

Som er det samme som det du har, A kommer fra konstanten C i eksponenten.

Takker og bukker.

Men bare "drar" du ned C, fjerner det negative fortegnet på e og kaller konstanten for A (eller whatever)? Det er denne prosedyren jeg ikke forstår 100%. Forstår 90% kanskje.