Binomial forenkling

[¨John-A]

Binomial forenkling, Noen som kan forklare meg hvordan jeg forenkler dette: forenkle når n er et positivt heltall.Oppgave nr 1:((n+1)/2)-(n/2).oppgave nr 2: ((n+1)/3)-(n/3)....svaret på oppgave 1 er n og oppgave 2: (n/2)

[Aleks855]

1) $\frac{n+1}{2}- \frac n2 = \frac{n+1-n}{2} = \frac12$

Oppgave 2 er akkurat det samme, men med 3 i stedet for 2.

[John-A]

Svaret på oppgave 1 skal være n og oppgave 2:(n/2)..... men takk for forsøket

[Fibonacci92]

Forvirringen kommer kanskje av at du skriver $\frac{n}{2}$ men mener $n \choose 2$

[John-A]

Ja , det var litt slurvete..Ser det er mye muligheter i tex-editor for ettertid.

[Guest]

[tex]\binom{n+1}{2}-\binom{n}{2}=n[/tex]
[tex]\binom{n+1}{3}[/tex]-[tex]\binom{n}{3}[/tex]=[tex]\binom{n}{2}[/tex]

[Fibonacci92]

Disse oppgavene burde være rett frem ved å skrive definisjonen av ${n \choose 2} = \frac{(n-1)n}{2}$ og ${n \choose 3} = \frac{(n-2)(n-1)n}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

I tillegg kan du f.eks. for den første gi et kombinatorisk bevis.

$ n+1 \choose 2$ er antall måter å velge 2 personer blant n+1 personer.

$ n \choose 2$ er antall måter å velge 2 personer blant n personer.

Er det fornuftig at det er n flere måter å velge den første enn den siste?

Gjerne tegn opp tilfellene for verdiene 1,2,3,4,5 for n og se om du ser mønsteret:)

[Guest]

Kan du ikke bare bruke definisjonen av den binomiske koeffisienten?
[tex]{n \choose k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/tex]

[tex]{n+1 \choose 2} - {n \choose 2} = \dfrac{(n+1)!}{2! \cdot ((n+1)-2)!} - \dfrac{n!}{2! \cdot (n-2)!}[/tex]

[tex]= \dfrac{(n+1)\cdot n!}{2! \cdot (n-2)! \cdot (n-1)} - \dfrac{n! \cdot (n-1)}{2! \cdot (n-2)! \cdot (n-1)}[/tex]

[tex]= \dfrac{n!\cdot ((n+1)-(n-1))}{2! \cdot (n-2)! \cdot (n-1)}[/tex]

[tex]= \dfrac{\cancel{2}n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{2!} \cancel{(n-1)!}} = n[/tex]
Jeg tok algebraen i litt grove steg siden jeg regner med at du skjønner hva jeg driver med, men hvis ikke så bare spør.
Den andre oppgaven klarer du sikkert også på egenhånd nå. Det handler bare om å vite når du skal splitt og sveise sammen fakultet

[Aleks855]

Svaret på oppgave 1 skal være n og oppgave 2:(n/2)..... men takk for forsøket

Nah, jeg gjorde det nok riktig. Men skråstrek betyr brøk, så jeg tolka det slik du skrev det.

[Guest]

Svaret på oppgave 1 skal være n og oppgave 2:(n/2)..... men takk for forsøket

Nah, jeg gjorde det nok riktig. Men skråstrek betyr brøk, så jeg tolka det slik du skrev det.

Så har det noe med å legge godviljen til, tillate at andre kan være upresise uten å gi åpenbart urelaterte svar. Hvis du ønsket det er jeg overbevist over at klarer å forstå hva John mener og gi han et svar som bidrar positivt i oppklaringen av spørsmålet. Tror det skulle være relativt greit å forstå at et innlegg i universitetkategorien som snakker om binomial forenkling ikke er ute etter å lære brøkregning fra 8. klasse. Morsom er du da, det skal du ha .

[Aleks855]

Svaret på oppgave 1 skal være n og oppgave 2:(n/2)..... men takk for forsøket

Nah, jeg gjorde det nok riktig. Men skråstrek betyr brøk, så jeg tolka det slik du skrev det.

Så har det noe med å legge godviljen til, tillate at andre kan være upresise uten å gi åpenbart urelaterte svar. Hvis du ønsket det er jeg overbevist over at klarer å forstå hva John mener og gi han et svar som bidrar positivt i oppklaringen av spørsmålet. Tror det skulle være relativt greit å forstå at et innlegg i universitetkategorien som snakker om binomial forenkling ikke er ute etter å lære brøkregning fra 8. klasse. Morsom er du da, det skal du ha .

Selvfølgelig tillates det upresise formuleringer, men man må ta i betraktning at dersom man formulerer seg på en måte som faktisk betyr noe annet, så kan man ikke alltids forvente at det svares på det man mente, og ikke det man skrev. Det du beskriver nå er ekvivalent med følgende scenario.

A: Hva er 10-5?

B: Det er 5.

A: Jeg mente 10+5, og det burde du skjønt.

[Guest]

Det er jo helt riktig at du skal tolke det som står der så best du kan og jobbe ut ifra det. Bytter man om på pluss og minus er det ikke så mye tolking som kan gjøres og da må man bare svare på det som står der. Sånn sett er jeg helt enig med deg at det ville være en selvfølge.
Forskjellen på ditt overforenklede eksempel er at du verken har oppgitt at svaret skulle være 15 eller hvilken operasjon han sliter med å gjennomføre (plusse) for de to tallene. Prøv deg på denne istedenfor:

A: Trenger hjelp til å plusse sammen disse tallene 10-5. Svaret skal bli 15, men jeg skjønner ikke hva jeg gjør galt.
Aleks: 10-5 = 5
A: flott det, men [tex]5 \neq 15[/tex] så noe må være galt.
Aleks: Det som er galt er skrivemåten din. Jeg svarte helt riktig på regnestykket.


I tillegg er dette et eksempel hvor typesetting er totalt uproblematisk. Alle vet hvordan man skriver -, +, * og / på et tastatur så aritmetikk er ofte uproblematisk og så basic at du ikke trenger å tolke noe som helst. Det er lett å blingse litt og skrive + istedenfor - hvis man utvider en parantes eller noe slikt, men det skal godt gjøres å blingse litt før man gjør om binomial koeffisienter til brøker. Det er åpenbart at problemene stammer fra mangel på latex kunnskap. Typiske ting folk roter på er absolutt verdier, kvadratrøtter, implikasjonspiler og ikke minst binomial koeffisienter.

[Aleks855]

Stort sett enig, men jeg har en tendens til å se bort fra fasitsvar mesteparten av tida. Det er veldig ofte at de som spør spørsmål har lest fasiten fra feil oppgave (og derfor kommer de hit forvirret), eller at det er fasitfeil. Hadde jeg tatt høyde for fasitsvarene som ble oppgitt i første innlegg, så hadde jeg kanskje formulert meg annerledes.

Men på tilsvarende måte virker det ikke som om trådstarter la merke til at jeg ikke brukte binomialkoeffisienter i svaret jeg ga. Det bare var feil.

[John-A]

Ok, Takk gjest...dessverre fatter jeg ikke det helt ennå, hva mener du med splitt og sveise sammen fakultet?

[Guest]

Var det noe du ikke skjønte med utregningene mine eller var det bare det med splitte og sveise?
Det ble litt uklart fordi jeg ikke har noen bedre terminologi, men det jeg mente med "splitte og sveise" er rett og slett når du skal faktorisere ut enkeltfaktorer for å kunne forenkle uttrykket.
F.eks [tex]n! = (n-1)! \cdot n[/tex] Dette kan være nyttig å gjøre om du har brøken [tex]\dfrac{n!}{(n-1)!} = \dfrac{n\cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = n[/tex] slik at du får strøket like faktorer mot hverandre. Antar at jeg bare kunne kalt dette for faktorisering, men tenkte det kunne være litt uklart med tanke på at alle mattelærere alltid sier "faktoriser" når de mener "primtallsfaktoriser".

I utregningene mine ovenfor bruker jeg dette til å sette sammen brøkene. Den ene nevneren har [tex](n-1)![/tex] og den andre har [tex](n-2)![/tex] så da vet du at [tex](n-1)! = (n-1)\cdot (n-2)![/tex] og at du dermed må gange utrykket med [tex](n-2)![/tex] i nevneren med [tex](n-1)[/tex]
Etterpå "sveiser" jeg [tex](n-1)\cdot (n-2)![/tex] sammen igjen til [tex](n-1)![/tex] for å kunne stryke vekk [tex](n-1)![/tex] over og under brøken.