Induksjonsoppgave

[hallapaadeg]

Skal bevise "Bernoullis ulikhet" ved hjelp av induksjon og jeg står fast.

"Vis at for alle positive heltall n gjelder formelen

[tex](1+x)^{n} \geq 1 + nx[/tex] for [tex]x \geq -1[/tex] "

(1)
Så jeg begynner med [tex]n = 1 =>[/tex]

venstre side: [tex](1+x)^{1} = 1+x[/tex]

og for høyre side: [tex]1 + 1*x = 1+x[/tex]... ok !

(2) Antar det også stemmer for et vilkårlig heltall k > 0

[tex](1+x)^{k} \geq 1 + kx[/tex] der [tex]x \geq -1[/tex]

(3) Skal altså bevise at det stemmer for n = k+1 slik at

[tex](1+x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x[/tex]

Jeg vil begynne fra antakelsen (2), og forsøke å ende opp med (3)

ganger med (1+x) på begge sider .. . .. [tex](1+x)^{k}(1+x) \geq (1 + kx)(1+x)[/tex]

[tex](1+x)^{k+1} \geq (1+kx)(1+x)[/tex] .. men her er jeg allerede stuck. Kan jeg på en eller annen magisk måte allerede er konkludere med at det stemmer? Det er noe jeg ikke ser her

[DennisChristensen]

Anta at $(1+x)^k ≥ 1 + kx$ for en gitt $k \in \mathbb{N}$.

Da får vi at $(1+x)^{k+1} \\ = (1+x)^k (1+x) \\ ≥ (1+kx)(1+x) \\ = 1 + x + kx + kx^2 \\ = 1 + (k+1)x + kx^2 \\ ≥ 1 + (k+1)x$.