haha123 wrote:Hei, kan noen hjelpe med denne oppgaven?
a) Ta for deg en vilkårlig trekant ABC og konstruer den innskrevne sirkelen.
b) La a være motstående side til vinkel A, b til vinkel B og c til vinkel C i trekanten ABC.
Sett: s = (a+b+c)/2
Bevis at radien r i den innskrevne sirkelen er gitt ved
r = (s-a)*tan(A/2) = (s-b)*tan(B/2) = (s-c)*tan(C/2)
Har fått til a) men vet ikke helt hva jeg skal gjøre med b)..
På vedlagt bilde ser vi trekanten $ABC$ med respektive motstående sider $a, b, c$. Den innskrevne sirkelen med sentrum $S$ og radius $r$ er også tegnet inn.
La $x=AP$. Ettersom linjen $AS$ halverer vinkel $A$, får vi at $\angle PAS = \frac{A}{2}$. Trekanten $APS$ er rettvinklet, så vi ser at $\tan(\frac{A}{2}) = \frac{r}{x}$.
Nå, trekantene $PBS$ og $SBQ$ er formlike og like store, så vi ser størrelsen $c-x$ også markert på siden $BC$. Dette symmetri-argumentet fortsetter videre "rundt" trekanten (merk at $QC = a - (c-x)$ osv), til vi til slutt ender opp med
$x = b-(a-(c-x))$
$\therefore 2x=b+c-a$
$\therefore x = \frac{b+c-a}{2} = s-a$
Så $\tan(\frac{A}{2}) = \frac{r}{s-a}$
$\therefore r = (s-a)\tan(\frac{A}{2})$.
Vi kunne begynt med å utforske hjørne $B$ eller $C$ istedenfor $A$, så pga symmetri får vi at
$r = (s-a)\tan(\frac{A}{2}) = (s-b)\tan(\frac{B}{2}) = (s-c)\tan(\frac{C}{2})$
