Derivasjon R1

[bruker4321]

Hei.

Skal derivere funksjonen h(x)=(√x)e^x

Svaret i fasiten er (2x+1)e^x)/2(√x)

Kommer ikke frem til dette svaret, hadde satt stor pris på tilbakemeldinger.

[DennisChristensen]

Hei.

Skal derivere funksjonen h(x)=(√x)e^x

Svaret i fasiten er (2x+1)e^x)/2(√x)

Kommer ikke frem til dette svaret, hadde satt stor pris på tilbakemeldinger.

Her må vi bruke produktregelen.

La $u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \\
v(x) = e^x$.

Produktregelen sier $h'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)$.

Så vi får at $h'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^x + x^{\frac{1}{2}}\cdot e^x \\
=e^x\left(\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}\right) \\
= e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\right) \\
=\frac{e^x}{2\sqrt{x}}\left(1 + 2x\right) \\
=\frac{(2x+1)e^x}{2\sqrt{x}}$.

[bruker4321]

Hei igjen.

Tusen takk for svar.

Det eneste jeg fortsatt ikke helt forstår er den siste delen når du trekker sammen uttrykket:

(e^(x))*(((1/(2√x))+√x)

=(e^x/2√x)*(1+2x)

√x blir skrevet om til (1+2x), hvilke regler gjelder for dette?

PS. Det ble mye parenteser her, har ikke helt forstått hvordan jeg kan skrive det på en enklere måte her inne.

[DennisChristensen]

Hei igjen.

Tusen takk for svar.

Det eneste jeg fortsatt ikke helt forstår er den siste delen når du trekker sammen uttrykket:

(e^(x))*(((1/(2√x))+√x)

=(e^x/2√x)*(1+2x)

√x blir skrevet om til (1+2x), hvilke regler gjelder for dette?

PS. Det ble mye parenteser her, har ikke helt forstått hvordan jeg kan skrive det på en enklere måte her inne.

Du kan enten tenke at jeg faktoriserer ut $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ og derfor må justere for dette inni parantesen, eller så kan du bare bruke vanlig brøkregning:

$e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\right) \\
= e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}^2}{2\sqrt{x}}\right) \\
= e^x\left(\frac{1 + 2x}{2\sqrt{x}}\right) \\
= \frac{(1+2x)e^x}{2\sqrt{x}}$.

[bruker4321]

Da forstår jeg! Takk så mye.