Hei!
Har en liten oppgave her jeg ikke klarer helt å forklare:
Vis at kjegleflaten beskrives ved likninga z = h * (1-(1/r)*(sqrt(x^2 + y^2)), hvor h er høyden og r er radius i grunnflaten.
Jeg skal etter dette sette opp et iterert trippelintegral og utføre integrasjonene.
Jeg tenkte da noe slik:
r^2 * z^2 = h^2*x^2 + h^2 * y^2, som er formelen for en kjegle
Hvis jeg setter z alene får jeg: z = h/r* sqrt(x^2 + y ^2)
Problemet mitt er at denne funksjonen er ikke det jeg skulle vise, mangler altså en h.
Og så har jeg dette også:
Dette er tre-dimensjonalt altså kjegla vil ha koordinatene: z = h/r* sqrt(x^2 + y ^2) og z = h
Arealet til grunnflata vil være en sirkel som blir : r = sqrt(x^2 + y^2)
Altså at D = {(x,y,z)|-r =<x<= r , -sqrt(r^2 - x^2) =<y <= sqrt(r^2 - x^2), h/r* sqrt(x^2 + y ^2)=<z <= h}
Jeg trenger ikke hjelp med selve integrasjonen dette har jeg fått til(endret til cylindrical coordinates). Sliter altså med selve forklaringen.. Føler at det jeg allerede har ikke holder.
Takker på forhånd for hjelpen!
Trippel integral, kjegle
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Posts: 826
- Joined: 09/02-2015 23:28
- Location: Oslo
I formelen $r^2 z^2 = h^2 x^2 + h^2 y^2$ har vi at tuppen av kjeglen ligger i origo, ettersom $x=y=0 \Rightarrow z = 0$.
Hvis du ser på formelen $z = h\left(1-\frac{1}{r}\sqrt{x^2 + y^2}\right)$, ser du at $x=y=0 \Rightarrow z = h$, så denne kjeglen har sin tupp i punktet $(0,0,h)$.
Altså må vi ta utgangspunkt i den generelle formelen for en kjegle med tupp i $(0,0,h)$, hvilket er
$r^2 (z-h)^2 = h^2 x^2 + h^2 y^2$.
Rydder litt:
$(z-h)^2 = \frac{1}{r^2}\left(h^2 x^2 + h^2 y^2\right) \\
\therefore z - h = \pm \frac{1}{r}\cdot h\sqrt{x^2 + y^2} \\
\therefore z = \pm \frac{h}{r}\sqrt{x^2 + y^2} + h \\
= h\left(1 \pm \frac{1}{r}\sqrt{x^2 + y^2}\right)$.
Hvis det er gitt at kjeglen skal peke oppover får vi
$z = h\left(1-\frac{1}{r}\sqrt{x^2 + y^2}\right)$, hvilket skulle vises.
Hvis du ser på formelen $z = h\left(1-\frac{1}{r}\sqrt{x^2 + y^2}\right)$, ser du at $x=y=0 \Rightarrow z = h$, så denne kjeglen har sin tupp i punktet $(0,0,h)$.
Altså må vi ta utgangspunkt i den generelle formelen for en kjegle med tupp i $(0,0,h)$, hvilket er
$r^2 (z-h)^2 = h^2 x^2 + h^2 y^2$.
Rydder litt:
$(z-h)^2 = \frac{1}{r^2}\left(h^2 x^2 + h^2 y^2\right) \\
\therefore z - h = \pm \frac{1}{r}\cdot h\sqrt{x^2 + y^2} \\
\therefore z = \pm \frac{h}{r}\sqrt{x^2 + y^2} + h \\
= h\left(1 \pm \frac{1}{r}\sqrt{x^2 + y^2}\right)$.
Hvis det er gitt at kjeglen skal peke oppover får vi
$z = h\left(1-\frac{1}{r}\sqrt{x^2 + y^2}\right)$, hvilket skulle vises.
