Integral - fundamental

[ThomasSkas]

Hei!

Oppgave 1

Analysens fundamentalteorem sier at dersom f'(x) er kontinuerlig, er

[tex]f(x)-f(a)=\int_{a}^{x}f'(t)dt[/tex]

a) La [tex]u =f'(t)[/tex] og [tex]v=x-t[/tex], bruk delvis integrasjon en gang på \int_{a}^{x}f'(t)dt[/tex], og sett
resultatet inn i analysens fundamentalteorem. Hva får du da?

Jeg vet at delvis integrasjon gir:

[tex]\int u\cdot v'=u\cdot v-\int u'\cdot v[/tex]

[tex]\int f'(t)\cdot (x-t)'=f'(t)\cdot (x-t)-\int f''(t)\cdot (x-t)[/tex]

Dette er sikkert galt, men jeg vet virkelig ikke hvordan dette skal foregå her, når jeg ikke vet hva den deriverte av (x-t) er.

Liten update: vet ikke om dette fører noe frem!

[tex]\int_{a}^{x}f'(t)(x-t)=f'(x)(x-x)-\int f''(x)(x-x)-(f'(a)(x-a)- \int f''(a)(x-a))[/tex]

Kom ikke lenger, og dette ser egentlig ganske feil ut.

I samme slengen oppdaterer jeg med resten av oppgaven, som nok er helt lik:

b) Gjenta prosessen, men nå med [tex]u=f''(t)[/tex] og [tex]v = \frac{1}{2}(x-t)^2[/tex]

c) Har du gjort b) riktig, sitter du med leddet [tex]\frac{1}{2}\int_{a}^{x}f'''(t)(x-t)^2dt[/tex]
Hva er dette for noe?

[ThomasSkas]

Jeg har oppdatert tråden med litt nytt. Jeg trenger virkelig assistanse her.

Tusen takk!

[DennisChristensen]

(a)
Merk at $\int_{a}^{x} f'(t)\frac{d}{{dt}}(x-t)\text{ }dt = \int_{a}^{x} f'(t)(-1)\text{ }dt = - \int_{a}^{x} f'(t)\text{ }dt$.

Delvis integrasjon gir så
$\begin{align*} - \int_{a}^{x} f'(t)\text{ }dt & = \int_{a}^{x} f'(t)\frac{d}{{dt}}(x-t)\text{ }dt \\
& = \left[f'(t)(x-t)\right]_{a}^{x} - \int_{a}^{x} f''(t)(x-t)\text{ }dt \\
& = - f'(a)(x-a) - \int_{a}^{x} f''(t)(x-t)\text{ }dt\end{align*}$

$\begin{align*} \therefore \int_{a}^{x} f''(t)(x-t)\text{ }dt & = \int_{a}^{x} f'(t)\text{ }dt - f'(a)(x-a) \\
& = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) \text{ }\text{ fra analysens fundamentalteorem.}\end{align*}$



(b)
Liksom i (a) har vi at $\int_{a}^{x}f''(t)\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}(x-t)^2\right)\text{ }dt = \int_{a}^{x}f''(t)(x-t)(-1)\text{ }dt = - \int_{a}^{x} f''(t)(x-t)\text{ }dt$.

Delvis integrasjon gir så
$\begin{align*} - \int_{a}^{x} f''(t)(x-t)\text{ }dt & = \int_{a}^{x}f''(t)\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}(x-t)^2\right)\text{ }dt \\
& = \left[f''(t)\cdot \frac{1}{2}(x-t)^2 \right]_{a}^{x} - \int_{a}^{x} f'''(t)\cdot \frac{1}{2}(x-t)^2\text{ }dt \\
& = - \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 - \frac{1}{2} \int_{a}^{x} f'''(t)(x-t)^2\text{ }dt\end{align*}$



(c)

$\begin{align*} \frac{1}{2}\int_{a}^{x} f'''(t)(x-t)^2\text{ }dt & = \int_{a}^{x} f''(t)(x-t)\text{ }dt - \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \text{ }\text{ fra (b)} \\
& = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) - \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 \text{ }\text{ fra (a)}\end{align*}$